[论文解读] On the Systematic Constructions of Rotation Symmetric Bent Functions with Any Possible Algebraic Degrees

Sihong Su, Xiaohu Tang|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文为任意偶数 $n = 2m \geq 2$ 系统地构造了 $n$-变量旋转对称弯函数，实现了从 2 到 $m$ 的任意代数次数。通过修改二次旋转对称弯函数 $f_0$ 的支撑集，该方法利用基于轨道的多项式加法，生成具有灵活、任意代数次数的弯函数，当 $n \geq 10$ 时，这是首次实现代数次数高于 4 的构造。

ABSTRACT

In the literature, few constructions of $n$-variable rotation symmetric bent functions have been presented, which either have restriction on $n$ or have algebraic degree no more than $4$. In this paper, for any even integer $n=2m\ge2$, a first systemic construction of $n$-variable rotation symmetric bent functions, with any possible algebraic degrees ranging from $2$ to $m$, is proposed.

研究动机与目标

• 为解决旋转对称弯函数在代数次数大于 4 时缺乏系统构造的问题。
• 解决在偶数 $n = 2m$ 时构造具有任意代数次数（最高至 $m$）的旋转对称弯函数的开放问题。
• 提供一种通用且灵活的方法，突破以往仅限于次数 ≤4 或特定 $n$ 的构造限制。
• 通过理论证明弯函数性质和代数次数控制，验证该构造的有效性。

提出的方法

• 该方法从二次旋转对称弯函数 $f_0(x) = \bigoplus_{i=0}^{m-1} x_i x_{m+i}$ 开始，作为基础函数。
• 通过添加形如 $\bigoplus_{\beta'+\beta'' \in O_m(\delta)} x^\beta$ 的项来构建新的弯函数，其中 $O_m(\delta)$ 表示向量 $\delta \in \mathbb{F}_2^m$ 在循环移位下的轨道。
• 利用 $\mathbb{F}_2^m$ 中向量的轨道结构，系统地生成对称且高次的项。
• 使用沃尔什变换和卢卡斯公式验证所得函数仍保持弯函数性质。
• 代数次数由 $\delta$ 的汉明权重控制，满足 $\deg(f) = \mathrm{wt}(\delta)$。
• 通过选择任意非空子集 $A \subseteq \mathbf{R}_m$ 实现灵活构造，得到 $f = f_0 \oplus \bigoplus_{\delta \in A} \left( \bigoplus_{\beta'+\beta'' \in O_m(\delta)} x^\beta \right)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意偶数 $n = 2m$ 的 $n$-变量旋转对称弯函数开发一种系统构造方法，实现从 2 到 $m$ 的任意代数次数？
• RQ2 是否能够使用一种通用的、基于轨道的方法，构造出代数次数大于 4 的旋转对称弯函数？
• RQ3 如何形式化基础二次弯函数 $f_0$ 的支撑集修改，以在保持弯函数性质的同时控制代数次数？
• RQ4 轨道结构和向量覆盖关系在该类修改下确保弯函数性质中起什么作用？

主要发现

• 所提出的构造方法为任意偶数 $n = 2m \geq 2$ 生成了 $n$-变量旋转对称弯函数，克服了以往对 $n$ 的限制。
• 该方法可实现从 2 到 $m$ 的任意代数次数，且 $\deg(f) = \mathrm{wt}(\delta)$，其中 $\delta$ 控制所添加的项。
• 当 $n \geq 10$ 时，这是首次实现代数次数大于 4 的旋转对称弯函数的构造。
• 通过沃尔什变换和基于轨道的分解，利用卢卡斯公式计算模 2 的二项式系数，证明了所得函数的弯函数性质。
• 该构造推广了先前结果，例如当 $\mathrm{wt}(\delta) = 3$ 时，可作为 [3] 和 [6] 中立方弯函数的特例。
• 通过 $\Gamma_i^{(m)}$ 构造出代数次数为 $m$ 的弯函数类，其中 $f = f_0 \oplus \bigoplus_{j \succeq i} \bigoplus_{\mathrm{wt}(\alpha)=j, \alpha' * \alpha'' = 0} x^\alpha$，实现 $\deg(f) = m$。