[论文解读] On the theory of canonical perturbations and its application to Earth rotation

Michael Efroimsky|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2004

Geophysics and Sensor Technology参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文揭示了在地球自转中应用经典摄动理论时的一个关键缺陷：速度相关摄动导致用于描述转动动力学的安多伊尔元素（Andoyer elements）变为非横圆（non-osculating），从而削弱了其物理可解释性。研究表明，保持横圆性（osculating property）需要放弃经典方程，而尽管基诺什塔-苏查伊理论（Kinoshita-Souchay theory）在这一点上非经典，其仍能正确计算惯性系中的角速度，而该角速度是可直接测量的。

ABSTRACT

Both orbital and rotational dynamics employ the method of variation of parameters. We express, in a non-perturbed setting, the coordinates (Cartesian, in the orbital case, or Eulerian in the rotation case) via the time and six adjustable constants called elements (orbital elements or rotational elements). If, under disturbance, we use this expression as ansatz and endow the "constants" with time dependence, then the perturbed velocity (Cartesian or angular) will consist of a partial derivative with respect to time and a so-called convective term, one that includes the time derivatives of the variable "constants." Out of sheer convenience, the so-called Lagrange constraint is often imposed. It nullifies the convective term and, thereby, guarantees that the functional dependence of the velocity upon the time and "constants" stays, under perturbation, the same as it used to be in the undisturbed setting. When the dynamical equations, written in terms of the "constants," are demanded to be symplectic (and the "constants" make conjugated pairs $ Q, P$), these "constants" are called Delaunay elements, in the orbital case, or Andoyer elements, in the rotational case. The Andoyer and Delaunay sets of elements share a feature not visible with a naked eye: in certain cases, the standard equations render these elements non-osculating. Hence, even though the Andoyer variables in the Kinoshita-Souchay theory are introduced in a precessing frame of the Earth orbit, they nevertheless return the angular velocity relative to an inertial frame.

研究动机与目标

• 识别在使用经典摄动理论时，地球自转动力学中出现误差的根源。
• 阐明在速度相关摄动下，保持横圆元素与维持经典方程之间存在的矛盾。
• 解释为何基诺什塔-苏查伊理论虽使用非横圆元素，却仍能得出惯性系中角速度的物理正确结果。
• 证明非横圆元素对于瞬时自转轴方位角的物理意义不直接成立。
• 提供一种修正动力学方程的框架，以恢复横圆性，代价是失去经典性。

提出的方法

• 将旋转运动形式化为安多伊尔变量作为共轭对（Q, P）的形式，类似于轨道力学中的棣莫弗元素（Delaunay elements）。
• 将摄动后的角速度表示为元素依赖函数的时间导数与包含元素时间导数的对流项之和。
• 应用拉格朗日约束以消除对流项，从而定义横圆元素。
• 识别出速度相关摄动（例如来自非惯性参考系的摄动）无法仅通过修改哈密顿量来完全处理。
• 表明恢复横圆性需要在动力学方程中增加额外项，从而破坏其辛结构（即经典结构）。
• 利用广义坐标变量时间导数与元素依赖函数偏导数之间的关系，推导出正确的角速度表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在旋转动力学中，速度相关摄动会使安多伊尔元素变为非横圆？
• RQ2 使用非横圆元素对瞬时自转轴预测的物理后果是什么？
• RQ3 基诺什塔-苏查伊理论虽使用非横圆元素，是否仍能对惯性系中的角速度做出正确预测？
• RQ4 在速度相关摄动存在的情况下，能否同时保持横圆性与经典性？
• RQ5 横圆性的丧失如何影响行星自转模型中旋转元素的物理解释？

主要发现

• 速度相关摄动（如来自非惯性参考系的摄动）导致安多伊尔元素变为非横圆，即不再描述与实际轨迹相切的旋转运动。
• 非横圆元素无法正确表示瞬时自转轴的物理方位，导致对自转轴运动的误解。
• 基诺什塔-苏查伊理论计算的是相对于惯性系的角速度，而非随动参考系的角速度，这虽使用了非横圆元素，但具有优势。
• 基诺什塔-苏查伊理论中标准方程计算出的角速度是正确的，并且可直接测量，尽管所用元素为非横圆。
• 在速度相关摄动下恢复横圆性，需在动力学方程中引入超出哈密顿量的额外项，从而破坏其经典（辛）结构。
• 在轨道力学中，存在相同矛盾：速度相关摄动使标准行星方程变为非横圆，需在扰动函数之外增加额外项。