[论文解读] On the theory of symmetric polynomials

M. Г. Крейн|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Mathematics and Applications被引用 3

一句话总结

本文提出一种代数方法，通过由根的幂和导出的二次型，代数化地计数对称多项式在单位圆 |x|=1 内的根。通过从对称多项式系数构造一个厄米形式，该方法代数地建立了 Cohn 定理及其推广，无需解析延拓或 Rouché 定理即可实现根的精确定位。

ABSTRACT

A translation from Russian of the famous paper by Mark Krein "On the theory of symmetric polynomials" published in Math. Sb., vol. 40, no. 3, 1933, pp. 271-283.

研究动机与目标

• 为对称多项式的 Cohn 根计数定理提供一种代数替代方法，传统上该定理依赖于 Rouché 定理和连续性论证。
• 通过由根的幂和构造的厄米形式，建立一个确定对称多项式在单位圆 |x|=1 内根数的判别准则。
• 使用代数技术推广 Cohn 定理，避免使用连续性或留数积分等分析方法。
• 在对称多项式与实多项式之间建立类比，尤其在根交错性与定号二次型方面。
• 通过由对称多项式系数导出的二次型的符号，提供一种构造性方法，以确定根的分布（在 |x|=1 内或外）。

提出的方法

• 定义厄米形式 $\mathfrak{S} = \sum_{i,k=0}^{n-1} s_{i-k} x_i \overline{x}_k$，其中 $s_k$ 为对称多项式 $g(x)$ 的根的幂和。
• 将 $s_k$ 表示为单位圆上的根 ($\varepsilon_s$) 和对称对 ($\beta_t, \beta_t^*$) 的形式，从而将 $\mathfrak{S}$ 分解为模平方的和。
• 利用 $\mathfrak{S}$ 的符号（正/负平方项的数量）确定根的分布：$\pi - \nu$ 个根在 |x|=1 上，$\nu$ 对对称根在圆外或圆内。
• 将 $\mathfrak{S}$ 与 Schur-Cohn 形式 $\mathfrak{H}$ 关联，代数地导出 Cohn 定理，从而绕过 Rouché 定理。
• 通过变换 $f(x) = (x-i)^n g\left(\frac{x+i}{x-i}\right)$ 建立对称多项式与实多项式之间的类比，关联对称与实根的分布。
• 使用形式 $\left[\frac{F(x)f(y)-F(y)f(x)}{x-y}\right]_n$ 来刻画根的交错性，类比 Hurwitz 判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cohn 关于对称多项式根分布的定理能否在不依赖复分析或连续性论证的前提下，通过代数方法证明？
• RQ2 由根的幂和构造的二次型的符号与根相对于单位圆的位置之间存在何种关系？
• RQ3 如何通过代数变换系统地关联对称多项式理论与实多项式理论？
• RQ4 在何种条件下两个对称多项式在单位圆上具有交错根，且如何通过代数方法刻画这一性质？
• RQ5 何种代数判别准则可确定对称多项式的所有根位于单位圆上，或以对称对形式分布在圆外或圆内？

主要发现

• 厄米形式 $\mathfrak{S} = \sum_{i,k=0}^{n-1} s_{i-k} x_i \overline{x}_k$ 的符号为 $\pi - \nu$（对应 |x|=1 上的根），$\nu$ 对对称根在圆外或圆内，其核维数为 $d = n - \pi - \nu$。
• $g(x)$ 与 $g^*(x)$ 的最大公因式 $D(x)$ 的次数为 $d$，且 $g(x)/D(x)$ 在 |x|=1 上有 $\pi - \nu$ 个根，在圆外或圆内有 $\nu$ 对对称根。
• 代数地恢复了 Cohn 定理：对称多项式在 |x|=1 内的根数等于其导数在 |x|=1 外的根数。
• 形式 $\mathfrak{S}$ 可分解为关于 $x_i$ 的线性形式的模平方之和，分别对应于单位圆上的根和对称对。
• 通过代数形式，建立了实多项式经典结果（如 Hermite 判别准则、交错条件）在对称多项式上的类比。
• 变换 $f(x) = (x-i)^n g\left(\frac{x+i}{x-i}\right)$ 将对称多项式映射为实多项式，从而实现根分布定理的传递。