[论文解读] On the third moment of $L( frac{1}{2}, \chi_d)$ II: the number field case

Adrian Diaconu, Ian Whitehead|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文在数域背景下建立了二次狄利克雷L函数在中心临界点处三阶矩的平滑渐近公式。通过多重狄利克雷级数的亚纯延拓以及与D4根系相关的函数方程，作者证明了存在一个大小为$x^{3/4}$的次级项，精确计算了在$s = 3/4$处的留数，并得到了$O(x^{2/3 + \delta})$阶的误差项（对任意$ \delta > 0$），从而证实了关于L函数矩中次级项存在的长期猜想。

ABSTRACT

We establish a smoothed asymptotic formula for the third moment of quadratic {D}irichlet $L$-functions at the central value. In addition to the main term, which is known, we prove the existence of a secondary term of size $x^{\frac{3}{4}}$. The error term in the asymptotic formula is on the order of $O(x^{\frac{2}{3}+\delta})$ for every $\delta > 0.$

研究动机与目标

• 在数域中为基本判别式上的中心值$L(\frac{1}{2}, \chi_d)$建立三阶矩的平滑渐近公式。
• 证明在渐近展开中存在一个大小为$x^{3/4}$的次级项，该猜想长期存在但尚未被严格证明。
• 在生成级数$Z_0(s)$的亚纯延拓中精确计算$s = 3/4$处的留数，解决次级项关键组成部分。
• 将具有与$D_4$的威尔群同构的函数方程的多重狄利克雷级数框架扩展至分析更高阶矩及其次级项。
• 消除对亚纯延拓和多项式增长的先前假设，从而在更弱的假设下无条件地建立结果。

提出的方法

• 作者定义了一个四变量的多重狄利克雷级数$Z(s_1,s_2,s_3,s_4; \chi_{a_2c^2}, \chi_{a_1c^1})$，在整除$d$的素数处修改欧拉因子，其满足与$D_4$根系的威尔群同构的函数方程。
• 他们利用博赫纳原理，将该级数在$\mathbb{C}^4$上实现亚纯延拓，并推导出$Z(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, s)$在$s = \frac{3}{4}$处有一阶极点。
• 通过谱分解和收敛估计，将该对象的二次扭化得到的级数$Z_0(s)$在$\Re(s) > \frac{2}{3}$上实现亚纯延拓。
• 通过在奇素数上的欧拉因子分解计算$s = \frac{3}{4}$处的留数，得到一个关于$p \neq 2$的$p^{-1/2}$的有理函数的乘积，该乘积可简化为$P(p^{-1/2})$。
• 对平滑和$\sum_d L(\frac{1}{2}, \chi_{2d})^3 W(d/x)$应用梅林反演公式，将积分线移动至$\Re(s) = \frac{2}{3} + \delta$以提取主项和次级项。
• 通过估计梅林变换$\hat{W}(s)$以及$Z_0(s)$在垂直条带中的增长，控制误差项，证明其为$O(x^{2/3 + \delta})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在中心点处，二次狄利克雷L函数的平滑三阶矩中是否存在一个大小为$x^{3/4}$的次级项？
• RQ2 生成级数$Z_0(s)$在$s = \frac{3}{4}$处的精确留数是什么？它如何与奇素数的算术相关？
• RQ3 能否在不假设亚纯延拓或多项式增长的前提下，无条件地证明此类次级项的存在？
• RQ4 具有$D_4$对称性的多重狄利克雷级数的函数方程如何解释高阶矩中次级项的出现？
• RQ5 在$x^{3/4}$处的次级项是否为高阶矩的普遍特征？能否从群论结构中预测其存在？

主要发现

• 生成级数$Z_0(s)$在$\Re(s) > \frac{2}{3}$上具有亚纯延拓，其在$s = 1$处有七阶极点，在$s = \frac{3}{4}$处有一阶极点。
• 在$s = \frac{3}{4}$处的留数为$\frac{9}{256\pi^2} \cdot \frac{1}{4}(-181 + 128\sqrt{2}) \Gamma(\frac{1}{4})^4 \zeta(\frac{1}{2})^7 \cdot \prod_{p \neq 2} P(p^{-1/2})$，其中$P(p^{-1/2})$被显式给出。
• 平滑三阶矩满足$\sum_{d^*} L(\frac{1}{2}, \chi_{2d})^3 W(d/x) = x Q_W(\log x) + \mathrm{Res}_{s=3/4} Z_0(s) \cdot \hat{W}(3/4) x^{3/4} + O_{\delta}(x^{2/3 + \delta})$，对任意$\delta > 0$成立。
• 误差项为$O_{\delta}(x^{2/3 + \delta})$，优于杨（2013）之前得到的$O(x^{3/4 + \varepsilon})$的最佳界。
• 次级项被无条件证实，其留数与张（2016）的预测完全一致，且在奇素数上的乘积部分也完全吻合。
• 该结果证实，大小为$x^{3/4}$的次级项源于$D_4$函数方程结构，并非多重狄利克雷级数构造的产物。