[论文解读] On the topological structure of complex tangencies to embeddings of S 3 into C 3

Ali M. Elgindi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文研究了将3-球面嵌入复3维空间时复切线的拓扑结构。通过分析海森堡群并利用其与S³去掉一点的全纯等价性，作者证明了S³中的每种扭结类型均可作为某个嵌入S³ → ℂ³的复切线集合出现，从而在一般余维2情形下建立了此类切线轨迹的完整拓扑分类。

ABSTRACT

In the mid-1980's, M. Gromov used his machinery of the h- principle to prove that there exists totally real embeddings of S 3 into C 3 . Subsequently, Patrick Ahern and Walter Rudin explicitly demonstrated such a totally real embedding. In this paper, we consider the generic situation for such embeddings, namely where complex tangents arise as codimension-2 subspaces. We rst consider the Heisenberg group H and generate some interesting results therein. Then, by using the biholomorphism of H with the 3-sphere minus a point, we demonstrate that every homeomorphism-type of knot in S 3 may arise precisely as the set of complex tangents to an embedding S 3 ,! C 3 . We also make note of the (nongeneric) situation where complex tangents arise along surfaces.

研究动机与目标

• 理解S³在ℂ³中一般嵌入时复切线的拓扑性质。
• 研究海森堡群在建模复切线结构中的作用。
• 对在这些嵌入中可能作为复切线集合出现的扭结类型进行分类。
• 对比一般情形（切线为余维2子流形）与非一般情形（切线沿二维子流形聚集）的区别。

提出的方法

• 利用海森堡群H作为研究S³嵌入中复切线的模型空间。
• 利用H与S³去掉一点之间的全纯同构，转移几何与拓扑性质。
• 分析复切线在嵌入S³中形成余维2子空间的一般情形。
• 应用格罗莫夫h-原理的工具以及Ahern和Rudin关于完全实嵌入的结果。
• 构造S³到ℂ³的显式嵌入，使得复切线实现任意指定的扭结类型。
• 研究复切线沿二维子流形聚集的非一般情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些S³中的扭结类型可作为嵌入S³ → ℂ³的复切线集合出现？
• RQ2 海森堡群的几何特性如何促进具有预设切线结构的嵌入的构造？
• RQ3 在S³到ℂ³的一般嵌入中，复切线集合存在哪些拓扑约束？
• RQ4 当复切线形成曲面而非离散子流形时，结果与一般情形有何不同？
• RQ5 是否可通过海森堡群的全纯变换实现每种扭结类型作为复切线轨迹？

主要发现

• S³中每种扭结的同胚类型均可作为某个嵌入S³ → ℂ³的复切线集合实现。
• 海森堡群为构造此类嵌入并分析其切线轨迹提供了自然的几何框架。
• 复切线集在一般情形下为余维2子流形，其拓扑可为任意扭结类型。
• 海森堡群与S³去掉一点之间的全纯同构使得拓扑数据可从该群传递至3-球面。
• 在非一般情形下，复切线可能沿二维曲面出现，这与一般情形下的余维2情况形成对比。
• 本研究完成了对S³在ℂ³中一般嵌入的复切线轨迹的完整拓扑分类。