[论文解读] On the topology of compact Stein surfaces

Selman Akbulut, Burak Özbağcı|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 8

一句话总结

该论文证明了任意具有边界的紧致 Stein 曲面可通过关于 S² 的对称 Lefschetz 纤维丛自然地嵌入到一个闭合的辛 4-流形中。它构造了在 D² 上的非 Stein 最小椭圆纤维丛，证明了对于欧拉数为 −1 的亏格 n ≥ 2 曲面之上圆丛，至少存在 n+1 个彼此不同胚的单连通 Stein 填充，表明关于 S¹ 的曲面丛可嵌入到辛 4-流形中，且两部分的 b₂⁺ 均为正，并证明了每个闭合 3-流形都存在一个关于 2-分量链的弱辛填充双覆盖。

ABSTRACT

In this paper we obtain the following results: (1) Any compact Stein surface with boundary embeds naturally into a symplectic Lefschetz fibration over the 2-sphere. (2) There exists a minimal elliptic fibration over the 2-disk, which is not Stein. (3) The circle bundle over a genus n>1 surface with euler number e=-1 admits at least n+1 mutually non-homeomorphic simply-connected Stein fillings. (4) Any surface bundle over the circle, whose fiber is a closed surface of genus n>0 can be embedded into a closed symplectic 4-manifold, splitting the symplectic 4-manifold into two pieces both of which have positive b_2^+. (5) Every closed, oriented connected 3-manifold has a weakly symplectically fillable double cover, branched along a 2-component link.

研究动机与目标

• 通过将具有边界的紧致 Stein 曲面自然地嵌入到关于 S² 的对称 Lefschetz 纤维丛中，建立其自然的辛紧化。
• 通过在 D² 上构造最小非 Stein 椭圆纤维丛，证明 Stein 曲面的 PALF 特征化不能推广到闭合纤维丛。
• 为欧拉数 e = −1 的亏格 n ≥ 2 曲面上的圆丛构造至少 n+1 个彼此不同胚的单连通 Stein 填充。
• 证明任何纤维亏格 n ≥ 1 的关于 S¹ 的曲面丛可被嵌入到一个闭合辛 4-流形中，使得分裂后的两部分均具有正的 b₂⁺。
• 证明每个闭合、定向、连通的 3-流形都存在一个关于 2-分量链的弱辛填充双覆盖。

提出的方法

• 利用具有边界的紧致 Stein 曲面在 D² 上存在 PALF（正允许的 Lefschetz 纤维丛），且其纤维边界连通的性质。
• 通过在纤维边界上以 0- framing 附加一个 2-手柄，将 PALF 扩展为在 D² 上的正 Lefschetz 纤维丛，其纤维为闭合曲面。
• 应用 Ivan Smith 的引理 2，将单值表示为非分离正 Dehn 扭转的乘积，从而可将其扩展为关于 S² 的辛 Lefschetz 纤维丛。
• 通过在所得纤维丛上用平凡的 D²-丛进行封口，利用 Gompf 关于正 Lefschetz 纤维丛上辛结构的定理，得到一个闭合辛 4-流形。
• 对于关于 S¹ 的曲面丛，将单值表示为正 Dehn 扭转的乘积，一端用正 Lefschetz 纤维丛填充，另一端使用具有正 b₂⁺ 的高亏格 Lefschetz 纤维丛 G(n) 进行封口，以确保两部分均具有正的 b₂⁺。
• 利用 Montesinos 的结果：每个 3-流形都存在一个关于 S¹ 上曲面丛的 2-重分支覆盖，并结合此类丛的弱辛填充性，得出双覆盖是弱辛填充的。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有边界的紧致 Stein 曲面是否都能通过关于 S² 的对称 Lefschetz 纤维丛自然地嵌入到一个闭合辛 4-流形中？
• RQ2 在 D² 上具有闭合纤维的最小椭圆纤维丛是否必然具有 Stein 结构？
• RQ3 对于一个固定的 3-流形，最多可以存在多少个彼此不同胚的单连通 Stein 填充？
• RQ4 能否将一个关于 S¹ 的曲面丛嵌入到一个闭合辛 4-流形中，使得分裂后的两部分均具有正的 b₂⁺？
• RQ5 每个闭合、定向、连通的 3-流形是否都存在一个关于 2-分量链的弱辛填充双覆盖？

主要发现

• 任何具有边界的紧致 Stein 曲面均可自然地嵌入到关于 S² 的辛 Lefschetz 纤维丛中，因此可嵌入到一个闭合辛 4-流形中。
• 存在一个在 D² 上具有闭合纤维的最小椭圆纤维丛，但其非 Stein，表明 PALF 特征化不能推广到闭合纤维丛。
• 对每个 n ≥ 2，亏格为 n 的曲面上欧拉数 e = −1 的圆丛至少具有 n + 1 个彼此不同胚的单连通 Stein 填充。
• 任何纤维亏格 n ≥ 1 的关于 S¹ 的曲面丛均可被嵌入到一个闭合辛 4-流形中，使得分裂后的两部分均具有正的 b₂⁺。
• 每个闭合、定向、连通的 3-流形都存在一个关于 2-分量链的弱辛填充双覆盖。
• 双覆盖构造依赖于 Montesinos 定理：每个 3-流形都是 S¹ 上曲面丛的 2-重分支覆盖，且此类丛具有弱辛填充性。