[论文解读] On the Topology of Kac-Moody groups

Nitya R. Kitchloo|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 17

一句话总结

本文通过其抛物子群表明卡茨-莫代尔群的同伦等价于紧致李群的余上确界，确立了卡茨-莫代尔群的拓扑结构，并证明其分类空间具有CW复形的同伦类型。本文进一步发展了上同调结构，包括史蒂诺德代数作用和霍普夫代数性质，为研究这些无穷维李群类群提供了基础工具。

ABSTRACT

We study the topology of spaces related to Kac-Moody groups. Given a split Kac-Moody group over the complex numbers, let K denote the unitary form with maximal torus T having normalizer N(T). In this article we study the cohomology of the flag manifold K/T, as a module over the Nil-Hecke ring, as well as the (co)homology of K as a Hopf algebra. In particular, if F is a field of positive characteristic, we show that H_*(K,F) is a finitely generated algebra, and that H^*(K,F) is finitely generated only if K is a compact Lie group . We also study the stable homotopy type of the classifying space BK and show that it is a retract of the classifying space BN(T). We illustrate our results with the example of rank two Kac-Moody groups.

研究动机与目标

• 在拓扑群范畴中，将卡茨-莫代尔群的拓扑结构确立为紧致李群的余上确界。
• 分析在正特征域上卡茨-莫代尔群及其旗流形的上同调与同伦类型。
• 证明卡茨-莫代尔群的分类空间是其极大环面的正规化子的分类空间的形变收缩。
• 提供同调结构定理的独立证明，其中许多此前未发表或仅在较弱的一般性下陈述。
• 通过利用K的胞腔复形结构，证明分类空间BK具有CW复形的同伦类型。

提出的方法

• 利用广义卡坦矩阵和哈里什-钱德拉-塞拉关系，将卡茨-莫代尔群构造为ℂ上分裂卡茨-莫代尔群的酉形式。
• 通过威尔群作用与施伯特胞腔分解，利用T-胞腔的逐次黏合，将K构建为T-CW复形。
• 应用稳定转移理论，将分类空间BK与BN(T)关联，表明BK是BN(T)的形变收缩。
• 通过子集族S(A)的偏序集上的余上确界结构定义K的拓扑，通过限制到抛物子群确保群同态的连续性。
• 利用史蒂诺德代数与幂零赫克环分析K与K/T的上同调，确立模结构与霍普夫代数结构。
• 利用K的胞腔复形模型，表明其分类空间BK是有限型胞腔复形的余上确界，因此同伦等价于CW复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡茨-莫代尔群的拓扑结构如何通过其抛物子群与威尓群作用来描述？
• RQ2 卡茨-莫代尔群的分类空间BK的同伦类型是什么？
• RQ3 上同调环H*(K)与H*(K/T)作为史蒂诺德代数Ap上的模，其行为如何？
• RQ4 H*(K)的霍普夫代数结构与H*(K)的环结构分别是什么？
• RQ5 能否利用K的胞腔复形结构证明分类空间BK具有CW复形的同伦类型？

主要发现

• 卡茨-莫代尔群在拓扑群范畴中被证明同伦等价于其抛物子群KJ的余上确界。
• 分类空间BK是BN(T)（即极大环面T的正规化子的分类空间）的形变收缩。
• BK具有CW复形的同伦类型，因为它是有限型胞腔复形与胞腔包含映射的余上确界。
• 上同调环H*(K/T)被证明是史蒂诺德代数Ap上的模，其丰富结构由威尓群与零化算子诱导。
• 上同调H*(K)携带霍普夫代数结构，同调H*(K)具有明确定义的环结构，两者均与群结构相容。
• K的拓扑由闭施伯特簇Z̅w生成，K是有限型的自由T-CW复形，且与K/T上的CW结构相容。