[论文解读] On the Topology of Metric Spaces definable in o-minimal expansions of fields

Erik Walsberg|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文在有序域的o-极小扩张中建立了可定义度量空间的拓扑二分性：该空间要么包含一个无限离散的可定义子集，要么与欧几里得空间可定义同胚。此外，本文证明了几乎每个点都有一个与某个欧几里得空间开子集同胚的邻域，并通过从欧几里得立方体出发的可定义连续单射来刻画此类空间的拓扑维数。

ABSTRACT

We study the topology of metric spaces which are definable in o-minimal expansions of ordered fields. We show that a definable metric space either contains an infinite definable discrete set or is definably homeomorphic to a definable set equipped with its euclidean topology. This implies that a separable metric space which is definable in an o-minimal expansion of the real field is definably homeomorphic to a definable set equipped with its euclidean topology. We show that almost every point in a definable metric space has a neighborhood which is definably homeomorphic to an open definable subset of euclidean space.

研究动机与目标

• 理解在有序域的o-极小扩张中可定义的度量空间的拓扑结构。
• 确定此类空间是否局部同胚于欧几里得空间，或是否包含无限离散的可定义子集。
• 通过从欧几里得立方体出发的可定义连续映射来刻画可定义度量空间的拓扑维数。
• 证明在实数域上，可定义度量空间的完备化本身也是可定义的。
• 建立空间的拓扑维数不超过其底层集合的o-极小维数。

提出的方法

• 使用可定义二分性：要么存在无限离散的可定义子集，要么空间可定义同胚于欧几里得空间。
• 应用o-极小开映射定理，证明某些可定义映射的像在欧几里得拓扑中是开集。
• 利用一致连续性和距离递减映射，将可定义度量拓扑与欧几里得拓扑关联起来。
• 通过o-极小维数的归纳法，用低维的可定义集覆盖空间，以分析拓扑维数。
• 应用不相交并集的拓扑维数为其各分量维数上确界的事实。
• 利用虚像消除性质，将商空间实现为可定义集，从而保证可定义结构得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可定义度量空间局部同胚于欧几里得空间？
• RQ2 在何种情况下，可定义度量空间包含无限离散的可定义子集？
• RQ3 可定义度量空间的拓扑维数如何与它的o-极小维数相关？
• RQ4 在实数域上，可定义度量空间的完备化本身是否可定义？
• RQ5 可定义度量空间的拓扑维数能否通过从欧几里得立方体出发的可定义连续映射来刻画？

主要发现

• 可定义度量空间要么包含一个无限可定义离散子集，要么可定义同胚于欧几里得空间的可定义子集。
• 在可定义度量空间中，几乎所有点都有一个邻域，该邻域可定义同胚于某个欧几里得空间的开子集。
• 在实数域上，可定义度量空间的拓扑维数是最大的 $ m $，使得存在一个从 $[0,1]^m$ 到该空间的可定义连续单射。
• 可定义度量空间的拓扑维数被其o-极小维数从上方控制。
• 在o-极小扩张的实数域中，可定义度量空间的完备化本身也是可定义的。
• 每个可定义度量空间在几乎处处意义下是局部可定义紧致的，即几乎所有点都有一个邻域，该邻域同胚于某个欧几里得开集。