[论文解读] On the torsion in symmetric powers on congruence subgroups of Bianchi groups

Jonathan Pfaff, Jean Raimbault|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文建立了 Bianchi 群的同余子群的第二上同调群中挠子群的指数增长，其在第 m 个对称幂表示下的挠子群阶的对数增长速率约为 ~m²。通过解析 torsion 和组合 Reidemeister torsion，作者推导出依赖于相关轨道丛的双曲体积和同余子群的阶的上下界，将先前针对紧致算术 3-流形的结果推广至有限体积的算术 3-流形。

ABSTRACT

In this paper we prove that for a fixed neat principal congruence subgroup of a Bianchi group the order of the torsion part of its second cohomology group with coefficients in an integral lattice associated to the m-th symmetric power of the standard representation of SL_2(C) grows exponentially in m^2. We give upper and lower bounds for the growth rate. Our result extends a result of Mueller and Marshall, who proved the corresponding statement for closed arithmetic 3-manifolds, to the finite-volume case. We also prove a limit multiplicity formula for twisted combinatorial Reidemeister torsion on higher dimensional hyperbolic manifolds.

研究动机与目标

• 量化 Bianchi 群同余子群的第二上同调群在标准表示的对称幂作用下的挠子群增长。
• 将此前在紧致算术 3-流形上建立的指数挠子群增长结果，推广至 Bianchi 群的非紧致、有限体积情形。
• 在高维双曲流形上，为扭曲的组合 Reidemeister torsion 建立极限多重性公式。
• 以同余子群的阶和商空间的双曲体积为参数，提供挠子群阶增长速率的显式上下界。

提出的方法

• 作者使用有限体积双曲 3-轨道丛的正则化解析 torsion，并通过极限多重性公式将其与组合 Reidemeister torsion 关联。
• 他们在 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 的标准表示的第 m 个对称幂 $V(m)$ 中构造一个 $Γ(\mathfrak{a})$-不变的整格 $\Lambda(m)$。
• 通过分析系数为 $\Lambda(m)$ 的上同调复形，利用边界算子的范数和表示矩阵的谱性质，控制挠子群的大小。
• 应用普遍系数定理，并估计边界映射的余核，通过边界矩阵的行列式来控制上同调中的挠子群。
• 该方法依赖于 $KAK$-分解和对称幂表示的范数估计，以控制边界算子范数的增长。
• 通过引入参考阶 $\mathfrak{a}_0$，并利用解析 torsion 差值比较 Eisenstein 系列对挠子群的贡献，进一步优化了上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当对称幂指标 $m$ 增大时，Bianchi 群同余子群的第二上同调群中的挠子群如何随 $m$ 变化？
• RQ2 此前在紧致算术 3-流形上建立的指数挠子群增长结果，能否推广至 Bianchi 群的有限体积情形？
• RQ3 挠子群阶的对数增长速率在双曲体积和同余子群阶的参数下，其精确上下界是什么？
• RQ4 在高维双曲流形上，组合 Reidemeister torsion 在对称幂表示扭曲下的渐近行为如何？

主要发现

• 挠子群 $H^2(\Gamma(\mathfrak{a}); \Lambda(m))_{\text{tors}}$ 的阶在 $m^2$ 上呈指数增长，其对数增长速率下界为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\operatorname{vol}(X_{\mathfrak{a}})}{\pi} \left(1 - \frac{C_1(\Gamma_D)}{N(\mathfrak{a})}\right)$。
• 对数增长速率的上界为 $\frac{\operatorname{vol}(X_{\mathfrak{a}})}{\pi} \left(1 + \frac{C_2(\Gamma_D)}{N(\mathfrak{a})}\right)$，表明其增长速率依赖于体积。
• 当 $D = -7, -11, -19, -43, -67, -163$ 时，若类数为 1 且单位群为 $\{\pm 1\}$，常数 $C_1(\Gamma_D)$ 可取 4。
• 第一上同调群中的挠子群增长至多为 $O(m \log m)$，表明其增长远慢于第二上同调群。
• 作者证明了在高维双曲流形上，扭曲组合 Reidemeister torsion 的极限多重性公式，将解析 torsion 与组合 torsion 在大阶极限下联系起来。
• 如命题 7.3 所示，这些界对 $V(m)$ 中 $\Gamma(\mathfrak{a})$-不变格的选择具有稳定性。