[论文解读] On the trace of branching random walks

Itaï Benjamini, Sebastian Müller|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文研究了在单模随机图（URG）上分支随机游走（BRW）的迹，证明了对简单随机游走（SRW）而言，非回溯BRW的迹几乎必然为非回溯，这与一种猜想相矛盾，即此类迹应为回溯。通过单模随机网络理论及家族树上的不变渗流，作者证明迹具有指数体积增长，且临界渗流阈值小于1，从而在非阿贝尔设定下对BRW迹的结构进行了表征。

ABSTRACT

We study branching random walks on Cayley graphs. A first result is that the trace of a transient branching random walk on a Cayley graph is a.s. transient for the simple random walk. In addition, it has a.s. critical percolation probability less than one and exponential volume growth. The proofs rely on the fact that the trace induces an invariant percolation on the family tree of the branching random walk. Furthermore, we prove that the trace is a.s. strongly recurrent for any (non-trivial) branching random walk. This follows from the observation that the trace, after appropriate biasing of the root, defines a unimodular measure. All results are stated in the more general context of branching random walks on unimodular random graphs.

研究动机与目标

• 理解分支随机游走在单模随机图上的迹的回溯/非回溯性质。
• 确定非回溯BRW的迹对简单随机游走是否为回溯或非回溯。
• 建立迹的结构性质，如体积增长和临界渗流阈值。
• 探索BRW迹是否可能产生单模随机图结构。
• 将BRW迹结果从Cayley图推广至一般的单模随机图。

提出的方法

• 使用单模随机网络框架分析单模随机图（URG）上BRW的迹。
• 应用质量传输原理（MTP）及BRW家族树上的不变渗流以推导结构性质。
• 通过树索引的随机游走将家族树映射到基图，构造迹的单模随机版本。
• 采用谱半径分析与体积增长估计以表征迹的几何结构。
• 利用Cayley图上BRW与标记Galton–Watson树之间的对应关系，推广结果。
• 将迹视为家族树上的不变渗流，证明临界渗流阈值小于1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单模随机图上，非回溯BRW的迹对简单随机游走是否几乎必然为非回溯？
• RQ2 在URG上，非回溯BRW的迹是否具有指数体积增长？
• RQ3 在URG上，非回溯BRW的迹能否作为有限根图的弱极限实现？
• RQ4 迹上简单随机游走的谱半径是否几乎必然等于1？
• RQ5 如文献[3]所猜想，BRW的迹是否几乎必然为强回溯？

主要发现

• 在单模随机图上，非回溯BRW的迹对简单随机游走几乎必然为非回溯，如定理3.1所证明。
• 迹具有几乎必然的指数体积增长，如命题3.3所示。
• 迹的临界渗流阈值几乎必然小于1，如定理3.2所确立。
• 存在迹的单模随机版本，使得单模不变性与MTP得以应用。
• 迹上简单随机游走的谱半径几乎必然等于1，作为引理3.6与定理3.1的推论。
• 迹几乎必然不是强回溯，与[3]中的猜想相矛盾，反而表现出非回溯行为。