[论文解读] On the tree-width of even-hole-free graphs

Pierre Aboulker, Isolde Adler+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文证明了，即使在排除任意固定图作为极小图的无偶环图中，树宽也具有有界性，从而为这类图建立了类似网格的结构定理。通过利用极小图封闭性质和结构分解，作者表明，排除一个固定极小图会强制树宽有界，这一结果推广了关于平面无偶环图的已知结论，并支持了关于有界度无偶环图的猜想。

ABSTRACT

The class of all even-hole-free graphs has unbounded tree-width, as it contains all complete graphs. Recently, a class of (even-hole, $K_4$)-free graphs was constructed, that still has unbounded tree-width [Sintiari and Trotignon, 2019]. The class has unbounded degree and contains arbitrarily large clique-minors. We ask whether this is necessary. We prove that for every graph $G$, if $G$ excludes a fixed graph $H$ as a minor, then $G$ either has small tree-width, or $G$ contains a large wall or the line graph of a large wall as induced subgraph. This can be seen as a strengthening of Robertson and Seymour's excluded grid theorem for the case of minor-free graphs. Our theorem implies that every class of even-hole-free graphs excluding a fixed graph as a minor has bounded tree-width. In fact, our theorem applies to a more general class: (theta, prism)-free graphs. This implies the known result that planar even hole-free graph have bounded tree-width [da Silva and Linhares Sales, Discrete Applied Mathematics 2010]. We conjecture that even-hole-free graphs of bounded degree have bounded tree-width. If true, this would mean that even-hole-freeness is testable in the bounded-degree graph model of property testing. We prove the conjecture for subcubic graphs and we give a bound on the tree-width of the class of (even hole, pyramid)-free graphs of degree at most 4.

研究动机与目标

• 为解决在性质测试中一个关键的开放问题：具有有界度的无偶环图是否具有有界树宽。
• 确定 (even-hole, K₄)-free 图中树宽无界的根源是否在于高程度或大团极小图。
• 在极小图和度数约束下，为无偶环图建立一个结构定理。
• 通过将树宽与墙图或墙的线图作为诱导子图相联系，推广极小图自由图的排除网格定理。
• 证明最大度数 ≤4 的 (even-hole, pyramid)-free 图具有有界树宽。

提出的方法

• 证明 Robertson-Seymour 网格定理在 H-极小图自由图中的强化版本，表明此类图要么具有小树宽，要么包含一个大的墙图或墙的线图作为诱导子图。
• 通过图大小的归纳法和极小性论证，排除如金字塔、θ 图、框图和 K₆ 极小图等诱导子图。
• 定义并分析“基本”图，即完全图、环图，或通过将虚线边替换为路径或将其收缩而形成的图样。
• 对最大度数为 4 的图应用 2-连接分解，利用团分离器和结构约束来限制树宽。
• 使用定理 1.1 中的函数 fH(k) 来根据极小图排除和墙的大小来界定树宽。
• 利用关于具有长诱导圈的有界度图的已知结果，推导出树宽界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 排除一个固定极小图是否会在无偶环图中强制产生有界树宽？
• RQ2 在 (even-hole, K₄)-free 图中，树宽无界是否源于高程度顶点或大团极小图？
• RQ3 具有有界最大度的无偶环图是否具有有界树宽？
• RQ4 能否通过图样、团分离器和 2-连接分解，为最大度数为 4 的无偶环图构建一个结构定理？
• RQ5 2-连接分解能否扩展以处理更高程度的无偶环图？

主要发现

• 排除任意固定图 H 作为极小图的无偶环图具有有界树宽，证实了猜想 1。
• 最大度数不超过 4 的 (even-hole, pyramid)-free 图类的树宽小于 fK₆(3)，提供了具体的界限。
• 该证明表明，H-极小图自由的无偶环图要么具有小树宽，要么包含一个大的墙图或墙的线图作为诱导子图。
• 该结果可推广至更一般的 (theta, prism)-free 图类，表明在极小图排除下树宽有界。
• 作者猜想具有有界度的无偶环图具有有界树宽，并证明了其在子立方图中的成立。
• 提出了基于图样、基本图和 2-连接分解的度数为 4 的无偶环图的结构定理。