[论文解读] On the Treewidth of Triangulated 3-Manifolds

Kristóf Huszár, Jonathan Spreer+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 57被引用 1

一句话总结

本文证明了并非所有闭3-流形都存在有界树宽或路径宽的三角剖分，从而解决了计算3-流形拓扑学中长期存在的一个问题。通过将赫加德亏格等拓扑不变量与对偶图的组合参数联系起来，作者表明某些不可约的、非哈肯的3-流形在任何三角剖分中都要求任意大的树宽，从而限制了基于树宽的FPT算法在所有流形上的适用性。

ABSTRACT

In graph theory, as well as in 3-manifold topology, there exist several width-type parameters to describe how "simple" or "thin" a given graph or 3-manifold is. These parameters, such as pathwidth or treewidth for graphs, or the concept of thin position for 3-manifolds, play an important role when studying algorithmic problems; in particular, there is a variety of problems in computational 3-manifold topology - some of them known to be computationally hard in general - that become solvable in polynomial time as soon as the dual graph of the input triangulation has bounded treewidth. In view of these algorithmic results, it is natural to ask whether every 3-manifold admits a triangulation of bounded treewidth. We show that this is not the case, i.e., that there exists an infinite family of closed 3-manifolds not admitting triangulations of bounded pathwidth or treewidth (the latter implies the former, but we present two separate proofs). We derive these results from work of Agol and of Scharlemann and Thompson, by exhibiting explicit connections between the topology of a 3-manifold M on the one hand and width-type parameters of the dual graphs of triangulations of M on the other hand, answering a question that had been raised repeatedly by researchers in computational 3-manifold topology. In particular, we show that if a closed, orientable, irreducible, non-Haken 3-manifold M has a triangulation of treewidth (resp. pathwidth) k then the Heegaard genus of M is at most 48(k+1) (resp. 4(3k+1)).

研究动机与目标

• 确定每个闭3-流形是否都存在有界树宽或路径宽的三角剖分。
• 解决计算3-流形拓扑学中关于基于树宽的方法的算法局限性的长期问题。
• 建立三角剖分对偶图的树宽和路径宽的拓扑约束。
• 将对偶图的宽度参数与赫加德亏格等拓扑不变量联系起来。
• 证明基于树宽的FPT算法不能普遍应用于所有3-流形。

提出的方法

• 利用3-流形拓扑学中的已知结果——特别是Agol、Scharlemann–Thompson以及Scharlemann–Schultens–Saito的工作——关于不可约的、非哈肯的3-流形。
• 通过将树宽和路径宽与流形的赫加德亏格联系起来，建立其拓扑下界。
• 将树分解的概念应用于三角剖分的对偶图，以分析动态规划中四面体子复形的处理方式。
• 利用树宽控制树分解中每个节点（袋）处理的子复形大小，从而支持FPT算法。
• 将树宽和路径宽与其他图参数（如割宽和拥堵）进行比较，表明其在算法效率上的潜在优势。
• 利用良好树分解（引入、遗忘、合并节点）的结构，形式化三角剖分上的动态规划。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个闭3-流形是否都存在有界树宽的三角剖分？
• RQ2 三角剖分对偶图的树宽能否用于界定其底层3-流形的赫加德亏格？
• RQ3 是否存在所有三角剖分都具有无界路径宽或树宽的3-流形？
• RQ4 对偶图的宽度参数如何与不可约性和非哈肯性质等拓扑不变量相关联？
• RQ5 基于树宽的FPT算法能否普遍应用于所有3-流形问题？

主要发现

• 存在一个无限族的闭、可定向、不可约、非哈肯3-流形，它们不具有有界路径宽的三角剖分。
• 存在一个无限族的闭、可定向、不可约、非哈肯3-流形，它们不具有有界树宽的三角剖分。
• 对于任意闭、可定向、不可约、非哈肯3-流形M，若M存在树宽为k的三角剖分，则其赫加德亏格至多为18(k + 1)。
• 对于此类流形M，若M存在路径宽为k的三角剖分，则其赫加德亏格至多为4(3k + 1)。
• 结果表明，基于树宽的FPT算法不能普遍应用于所有3-流形，因为某些流形需要任意大的树宽。
• 本文确认树宽不是拓扑不变量，且其有界性在所有3-流形中并非必然成立。