[论文解读] On the twisted $q$-zeta functions and $q$-Bernoulli polynomials

Taekyun Kim, Lee Chae Jang+2 more|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 1被引用 33

一句话总结

本文通过 $\mathbb{Z}_p$ 上的 $p$-进不变积分，引入了扭曲的 $q$-伯努利数与多项式，构建了插值这些数在负整数处的扭曲 $q$-zeta 函数与扭曲 $q$-L-级数，并建立了其解析延拓与函数关系。关键结果是插值公式 $\zeta_{q,w}^{(h)}(1-m) = -\beta_{m,w}^{(h)}(q)/m$，推广了经典 $L$-函数的插值。

ABSTRACT

We study the twisted q-zeta functions and twisted q-Bernoulli polynomials

研究动机与目标

• 通过 $\mathbb{Z}_p$ 上的 $p$-进不变积分定义扭曲 $q$-伯努利数。
• 构建一个在负整数处插值这些数的扭曲 $q$-zeta 函数。
• 定义一个插值与狄利克雷特征相关的广义扭曲 $q$-伯努利数的扭曲 $q$-L-级数。
• 通过引入单位根与 $q$-变形，推广经典 $q$-zeta 与 $L$-函数。

提出的方法

• 通过 $p$-进 $q$-积分定义扭曲 $q$-伯努利多项式：$\beta_{m,w}^{(h)}(x,q) = \int_{\mathbb{Z}_p} q^{(h-1)y} w^y [x+y]^m d\mu_q(y)$。
• 推导扭曲 $q$-伯努利数的显式公式：$\beta_{m,w}^{(h)}(q) = \frac{1}{(1-q)^{m-1}} \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} q^{xk} (-1)^k \frac{k+h}{1 - q^{h+k}w}$。
• 构建扭曲 $q$-zeta 函数：$\zeta_{q,w}^{(h)}(s) = \frac{1-s+h}{1-s}(q-1)\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh}w^n}{[n]^{s-1}} + \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh}w^n}{[n]^s}$。
• 建立扭曲 $q$-zeta 函数在 $\mathbb{C}$ 上的解析延拓，其在 $s=1$ 处有一阶极点，并证明 $\lim_{q\to 1} \zeta_{q,w}^{(h)}(s) = \zeta(s,w)$。
• 定义扭曲 $q$-L-级数：$L_{q,w}^{(h)}(s,\chi) = \frac{1-s+h}{1-s}(q-1)\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh}w^n \chi(n)}{[n]^{s-1}} + \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh}w^n \chi(n)}{[n]^s}$。
• 推导插值性质：$L_{q,w}^{(h)}(1-m,\chi) = -\frac{\beta_{m,w,\chi}^{(h)}(q)}{m}$，将级数与扭曲 $q$-伯努利数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $\mathbb{Z}_p$ 上的 $p$-进不变积分定义扭曲 $q$-伯努利数？
• RQ2 扭曲 $q$-zeta 函数的解析延拓是什么？其在 $q \to 1$ 极限下如何与经典 Hurwitz zeta 函数关联？
• RQ3 能否构建一个在负整数处插值广义扭曲 $q$-伯努利数的扭曲 $q$-L-级数？
• RQ4 扭曲 $q$-zeta 函数与负整数处扭曲 $q$-伯努利数之间的函数关系是什么？
• RQ5 是否存在一个 $q$-类比的 $p$-进扭曲 $L$-函数，可插值 $\beta_{m,w,\chi}^{(h)}(q)$？

主要发现

• 扭曲 $q$-zeta 函数 $\zeta_{q,w}^{(h)}(s)$ 在 $\mathbb{C}$ 上解析延拓，且在 $s=1$ 处有一阶极点，并满足对所有 $m \in \mathbb{N}$ 有 $\zeta_{q,w}^{(h)}(1-m) = -\frac{\beta_{m,w}^{(h)}(q)}{m}$。
• 极限 $\lim_{q \to 1} \zeta_{q,w}^{(h)}(s) = \zeta(s,w)$ 成立，从而恢复经典扭曲 zeta 函数。
• 扭曲 $q$-L-级数 $L_{q,w}^{(h)}(s,\chi)$ 插值广义扭曲 $q$-伯努利数，且满足 $L_{q,w}^{(h)}(1-m,\chi) = -\frac{\beta_{m,w,\chi}^{(h)}(q)}{m}$。
• 扭曲 $q$-伯努利数满足分布关系 $\beta_{n,w}^{(h)}(x,q) = [f]^{n-1} \sum_{a=0}^{f-1} w^a q^{ha} \beta_{n,w^f}^{(h)}(\frac{a+x}{f}, q^f)$，其中 $f$ 为导子。
• 广义扭曲 $q$-伯努利数由 $\beta_{m,w,\chi}^{(h)}(q) = [f]^{m-1} \sum_{a=0}^{f-1} \chi(a) w^a q^{ha} \beta_{m,w^f}^{(h)}(\frac{a}{f}, q^f)$ 给出。
• 由 $\zeta_{q,w}(1-m) = \sum_{n=1}^\infty [n]^{m-1} q^{-mn} w^n$ 可推测 $q$-类比的欧拉发散级数定理，其形式类似于经典 $\zeta(1-m)$ 的发散级数。