[论文解读] On the twistor space of a (co-)CR quaternionic manifold

Radu Pantilie|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过形变理论刻画了（共-）CR 四元数流形的扭量空间，证明了当一个复流形携带一个具有正法丛且一阶上同调维数恒定的有理曲线的局部完全族时，该复流形即为扭量空间。关键贡献在于建立了一个几何对应关系，将具有对合和嵌入球面的复流形与共-CR 四元数结构联系起来，从而通过维数约化和扭量收缩构造出新例子。

ABSTRACT

We characterise, in the setting of the Kodaira-Spencer deformation theory, the twistor spaces of (co-)CR quaternionic manifolds. As an application, we prove that, locally, the leaf space of any nowhere zero quaternionic vector field on a quaternionic manifold is endowed with a natural co-CR quaternionic structure. Also, for any positive integers $k$ and $l$, with $kl$ even, we obtain the geometric objects whose twistorial counterparts are complex manifolds endowed with a conjugation without fixed points and which preserves an embedded Riemann sphere whose normal bundle is $l$ times the line bundle of Chern number $k$. We apply these results to prove the existence of natural classes of co-CR quaternionic manifolds.

研究动机与目标

• 通过 Kodaira–Spencer 形变理论刻画（共-）CR 四元数流形的扭量空间。
• 建立具有对合和嵌入球面的复流形与共-CR 四元数结构之间的对应关系。
• 证明在四元数流形上任意非零四元数向量场的叶空间在局部自然继承一个共-CR 四元数结构。
• 构造几何对象，其扭量对应物为保持指定法丛的对合的复流形。

提出的方法

• 使用 Kodaira–Spencer 形变理论，通过法丛和扭量线的上同调条件来刻画扭量空间。
• 识别复流形成为扭量空间的必要与充分条件：切丛正合列分裂，且法丛的一阶上同调维数 h^1 恒定。
• 应用该理论证明：在四元数流形上任意非零四元数向量场的叶空间自然携带一个共-CR 四元数结构。
• 通过有理规则曲面和具有指定法丛的全纯截面，在对合下构造例子。
• 利用扭量收缩，通过扭量数据的拉回，将四元数流形中的任意子流形与共-CR 结构关联起来。
• 显式构造格拉斯曼流形和喷射空间的扭量空间，以实现对应关系中所有可能的 (k,l) 对。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个复流形是共-CR 四元数流形的扭量空间？
• RQ2 如何使四元数流形上任意非零四元数向量场的叶空间自然地具有共-CR 四元数结构？
• RQ3 具有对合和嵌入球面的复流形与共-CR 四元数结构之间存在何种几何对应关系？
• RQ4 对于哪些整数 k 和 l，存在一个具有对合的复流形，其保持一个法丛为 l𝒪(k) 的球面？
• RQ5 扭量收缩与全纯截面如何与共-CR 四元数流形的构造相关联？

主要发现

• 一个复流形 Z 是共-CR 四元数流形的扭量空间，当且仅当它携带一个有理曲线的局部完全族，其法丛为正，且切丛正合列分裂，同时对每个曲线 t，Tt ⊗ N* 的 h^1 维数恒定。
• 在局部范围内，四元数流形上任意非零四元数向量场的叶空间自然继承一个共-CR 四元数结构。
• 对任意满足 kl 为偶数的正整数 k 和 l，存在一个几何对应关系：具有对合且保持法丛为 l𝒪(k) 的球面的复流形，与四元组 (M,N,x,φ) 之间一一对应，其中 N 为四元数流形，M 为类型为 (k,l) 的一般子流形，φ 为扭量收缩。
• R^{n+3} 中 3-平面的格拉斯曼流形的扭量空间是 CP^{n+2} 中的超二次曲面，其在扭量线上法丛为 n𝒪(2)，从而为该对应关系提供了具体实例。
• 通过从 CP^1 到自身的映射的喷射空间以及有理规则曲面 S_n，构造了扭量空间，从而对所有满足 kl 为偶数的 k 和 l 实现了共-CR 四元数结构。
• 该构造产生超共-CR 四元数流形，即为例 4.4 和 4.5 中扭量空间的积，覆盖了所有允许的 (k,l) 对。