[论文解读] On the Two-Dimensional Knapsack Problem for Convex Polygons

Arturo Merino, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Optimization and Packing Problems被引用 3

一句话总结

本文提出了首个针对可任意旋转的凸多边形的二维几何背包问题的多项式时间O(1)-近似算法。对于一般凸多边形，实现了准多项式时间O(1)-近似；对于三角形，则实现了多项式时间O(1)-近似，方法基于新颖的分组策略与带有资源增强下平衡廉价切割的递归划分框架。

ABSTRACT

We study the two-dimensional geometric knapsack problem for convex polygons. Given a set of weighted convex polygons and a square knapsack, the goal is to select the most profitable subset of the given polygons that fits non-overlappingly into the knapsack. We allow to rotate the polygons by arbitrary angles. We present a quasi-polynomial time $O(1)$-approximation algorithm for the general case and a polynomial time $O(1)$-approximation algorithm if all input polygons are triangles, both assuming polynomially bounded integral input data. Also, we give a quasi-polynomial time algorithm that computes a solution of optimal weight under resource augmentation, i.e., we allow to increase the size of the knapsack by a factor of $1+δ$ for some $δ>0$ but compare ourselves with the optimal solution for the original knapsack. To the best of our knowledge, these are the first results for two-dimensional geometric knapsack in which the input objects are more general than axis-parallel rectangles or circles and in which the input polygons can be rotated by arbitrary angles.

研究动机与目标

• 解决缺乏针对允许任意旋转的非矩形、非圆形形状的二维背包问题近似算法的问题。
• 为凸多边形设计高效的近似算法，这是对轴对齐矩形和圆形的显著推广。
• 通过识别最优解的结构特性并限制可行放置位置，克服任意角度旋转的挑战。
• 在资源增强下，为一般凸多边形实现常数因子近似，同时为三角形实现多项式时间近似。
• 提供一种结合边界框分组、基于面积的分析以及带有平衡廉价切割的递归划分框架的统一方法。

提出的方法

• 将输入多边形分为三类：简单型（边界框无需旋转即可容纳）、中等型（旋转45°后可容纳）、困难型（即使旋转后也无法容纳）。
• 利用Steinberg算法与面积论证，通过打包非重叠的边界框，为简单型多边形实现O(1)-近似。
• 对于中等型多边形，按边界框宽度分组，并使用广义的一维背包解法，在堆叠容器中打包旋转后的边界框。
• 通过证明中等型多边形解的面积占用率和打包密度受常数因子限制，证明其为O(1)-近似。
• 对于困难型多边形，利用关键结构洞察：任何最优解中此类多边形的数量至多为O(log N)，从而支持准多项式时间的猜测。
• 采用基于有限个候选顶点集（由多边形顶点和竖直线导出）的递归划分方法，通过平衡廉价切割逐步减小问题规模。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为允许任意旋转的凸多边形的二维背包问题设计常数因子近似算法？
• RQ2 最优解的哪些结构特性使得我们能够限制困难多边形的数量并约束其放置位置？
• RQ3 在不枚举所有角度的前提下，如何高效猜测困难多边形在任意旋转下的可行放置位置？
• RQ4 对于所有输入多边形均为三角形的特殊情况，我们能否实现多项式时间近似？
• RQ5 资源增强在多大程度上能支持一般凸多边形的常数因子近似？

主要发现

• 本文提出了一种针对一般凸多边形在任意旋转下的准多项式时间O(1)-近似算法，时间复杂度为(nN)^{log nN}^{O(1)}。
• 对于三角形这一特殊情况，实现了多项式时间O(1)-近似算法，显著提升了该子类的效率。
• 任何最优解中，其边界框即使旋转后也无法容纳的困难多边形数量被限制在O(log N)以内，从而支持准多项式时间的猜测。
• 提出了一种新颖的递归划分框架，结合平衡廉价切割，确保在资源增强下，算法能恢复总重量至少为(1 - O(δ))倍最优解的解。
• 在(1 + δ)-资源增强下，算法以时间复杂度n(log(n)/δ)^{O(1)}计算出重量至少为OPT的解，实现常数因子近似。
• 关键技术洞见是：具有极宽边界框的中等型多边形被限制在靠近背包对角线的小六边形区域内，从而支持有界面积分析。