[论文解读] On the two dimensional supercritical percolation cluster, the number of self-avoiding paths is much smaller than expected

Hubert Lacoin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 2

一句话总结

本文研究了二维超临界渗流簇上的自避行走，并表明，几乎必然地，长度为 $N$ 的此类路径数量的增长速度比其期望值慢得多。通过改变测度和粗粒化技术，本文证明了超临界簇的连通常数几乎必然为非随机值，且严格小于期望连通常数，表明路径数量的显著抑制，超出典型波动范围。

ABSTRACT

In this paper, we study abundance of self-avoiding paths of a given length on a supercritical percolation percolation cluster for percolation on $\mathbb Z^d$. More precisely, we count $Z_N$ the number of self-avoiding paths of length $N$ on the supercritical cluster, starting from the origin (that we condition to be in the cluster), and are interested in estimating the upper growth rate of $Z_N$ ($\limsup_{N o \infty} Z_N^{1/N}$, we call it connective constant of the dilute lattice). After proving that the connective constant of the supercritical percolation cluster is a.s. non-random, we focus on the two-dimensional case and show that for every percolation parameter $p\in (1/2,1)$, almost surely, $Z_N$ grows exponentially slower than its expected value, that is $\limsup_{N o \infty} Z_N^{1/N}<\lim_{N o \infty} (\mathbb E[Z_N])^{1/N}$ where expectation is taken with respect to the percolation process. Our method combining change of measure and coarse graining arguments does not rely on specificities of percolation on $\mathbb Z^2$, so that our result can be extended to a large family of two dimensional models including self-avoiding walk in random environment.

研究动机与目标

• 理解二维超临界渗流无限簇上自避路径的渐近增长速率。
• 确定随机渗流簇的连通常数是否几乎必然为非随机值。
• 研究超临界状态下自避路径的几乎必然增长速率与其在渗流测度下的期望值之间的差异。
• 建立一种适用于其他具有 quenched disorder 的二维模型（如随机环境中自避行走）的一般方法。

提出的方法

• 应用测度变换技术重新加权渗流过程，以控制主导路径数量的罕见事件。
• 使用粗粒化方法将格点分解为块，并在介观尺度上分析路径行为。
• 通过控制大尺度上路径计数的波动，建立连通常数的几乎必然收敛性。
• 在新测度下，通过遍历性和大偏差论证，证明连通常数为非随机值。
• 将 $Z_N$ 的几乎必然增长速率与平均增长速率 $\mathbb{E}[Z_N]^{1/N}$ 进行比较，以证明严格不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 超临界渗流簇的连通常数是否几乎必然为非随机值？
• RQ2 自避路径在簇上的几乎必然增长速率与渗流测度下的期望增长速率相比如何？
• RQ3 本文所用方法能否推广至其他具有 quenched disorder 的二维模型？
• RQ4 在超临界状态下，路径数量的抑制具有何种性质？

主要发现

• 超临界渗流簇的连通常数几乎必然为非随机值，证实了确定性的渐近增长速率。
• 对每个 $p \in (1/2, 1)$，几乎必然有 $\limsup_{N \to \infty} Z_N^{1/N} < \lim_{N \to \infty} (\mathbb{E}[Z_N])^{1/N}$，表明路径数量存在指数级抑制。
• 基于测度变换和粗粒化的方法具有鲁棒性，可推广至更广泛的二维模型，包括非最近邻渗流。
• 结果表明，典型实现的超临界簇并不支持全部预期的自避路径数量，尽管该簇是无限的。