[论文解读] On the two-phase Navier-Stokes equations with surface tension

Jan Pruess, Gieri Simonett|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用 6

一句话总结

该论文在初始界面为半平面的小扰动时，建立了带表面张力的两相不可压缩Navier-Stokes方程的局部适定性及瞬时解析性。通过线性化问题的Lp最大正则性理论，作者证明了解在初始时刻之后立即在空间和时间上成为实解析函数，即使初始数据仅属于临界Sobolev空间。

ABSTRACT

The two-phase free boundary problem for the Navier-Stokes system is considered in a situation where the initial interface is close to a halfplane. By means of $L_p$-maximal regularity of the underlying linear problem we show local well-posedness of the problem, and prove that the solution, in particular the interface, becomes instantaneously real analytic.

研究动机与目标

• 在初始界面接近半平面时，建立带表面张力的两相不可压缩Navier-Stokes方程的局部适定性。
• 证明解（包括自由边界）在空间和时间上立即成为实解析函数。
• 在最小初始正则性假设下，分析速度、压力和界面的正则性。
• 利用最大正则性理论，在临界函数空间框架下处理非线性自由边界问题。
• 验证解类通过在参数依赖的非线性系统上应用隐函数定理，保持解析性。

提出的方法

• 将带表面张力的两相Navier-Stokes系统表述为具有界面处跳跃条件的非线性自由边界问题。
• 在线性化平坦界面附近的系统后，将Lp最大正则性理论应用于所得线性问题。
• 通过变量变换使初始界面平坦化，将问题转化为固定区域设定。
• 在巴拿赫空间框架下应用隐函数定理，求解初始数据邻域内的非线性问题。
• 通过隐函数定理设置中对参数的解析依赖性，建立解的解析性。
• 利用解算子的解析性及非线性项的结构，证明解在时空上为实解析函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带表面张力的两相Navier-Stokes系统存在唯一的局部解？
• RQ2 即使初始数据仅属于临界Sobolev空间，解是否在空间和时间上立即成为实解析函数？
• RQ3 表面张力如何影响自由边界问题的正则性和适定性？
• RQ4 隐函数定理能否有效应用于由自由边界问题产生的参数依赖非线性系统？
• RQ5 Lp最大正则性在证明非线性两相流系统存在性与正则性方面起什么作用？

主要发现

• 对于 $ p > n+3 $，当初始数据属于 $ W^{2-2/p}_p(\bar{Ω}_0; \mathbb{R}^{n+1}) \times W^{3-2/p}_p(\mathbb{R}^n) $ 时，问题在 $ (0, t_0) $ 上存在唯一的经典解。
• 解 $ (u, q, \Gamma) $ 在 $ \mathcal{O} = \bigcup_{t \in (0,t_0)} \{t\} \times \Gamma(t) $ 上关于空间和时间是实解析的，其中 $ \Gamma(t) $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 上的图像。
• 界面 $ \Gamma(t) $ 由函数 $ h(t) $ 给出，解 $ (u, q) $ 在 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^{n+2} $ 上为实解析函数。
• 对于每个 $ t \in (0,t_0) $，压力 $ q $ 属于 $ \dot{H}^1_p(\Omega(t)) \subset UC(\Omega(t)) $，确保其连续性。
• 解满足涉及界面处应力跳跃和速度连续性的相容性条件。
• 通过在参数依赖非线性系统上应用隐函数定理实现了解的解析性，且已建立对参数的解析依赖性。