[论文解读] On the Ulam-Hyers-Rassias stability for nonlinear fractional differential equations using the $\psi$-Hilfer operator

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Functional Equations Stability Results参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文研究了涉及 $ψ$-Hilfer 分数阶导数的非线性 Cauchy 问题解的存在性、唯一性以及 Ulam-Hyers-Rassias 稳定性。通过不动点定理和比较原理，本文在一般分数阶算子下建立了稳定性充分条件，将经典稳定性概念扩展至更广泛的非线性分数阶微分方程类。

ABSTRACT

We study the existence and uniqueness of solution of a nonlinear Cauchy problem involving the $\psi$-Hilfer fractional derivative. In addition, we discuss the Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias stabilities of its solutions. A few examples are presented in order to illustrate the possible applications of our main results.

研究动机与目标

• 建立涉及 $ψ$-Hilfer 分数阶导数的非线性 Cauchy 问题解的存在性与唯一性。
• 将经典的 Ulam-Hyers 与 Ulam-Hyers-Rassias 稳定性概念推广至由 $ψ$-Hilfer 算子控制的分数阶微分方程。
• 为具有变阶行为的广泛非线性分数阶模型提供理论框架。
• 通过涉及特定 $ψ$-函数的示例，展示结果的适用性。

提出的方法

• 采用不动点定理，特别是 Banach 和 Krasnoselskii 定理，证明解的存在性与唯一性。
• 利用 $ψ$-Hilfer 分数阶导数，即 Riemann-Liouville 与 Caputo 导数的推广，以刻画复杂的记忆效应。
• 应用比较原理与积分不等式，推导在扰动下的稳定性估计。
• 引入广义的 Lyapunov 型函数，以在分数阶动力学背景下分析 Ulam-Hyers-Rassias 稳定性。
• 构建具体 $ψ$-函数（如对数型或幂函数型）的显式示例，以验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，涉及 $ψ$-Hilfer 导数的非线性 Cauchy 问题存在唯一解？
• RQ2 如何将 Ulam-Hyers 稳定性推广至由 $ψ$-Hilfer 算子控制的分数阶微分方程？
• RQ3 在任意 $ψ$-函数背景下的非线性分数阶系统中，Ulam-Hyers-Rassias 稳定性的充分条件是什么？
• RQ4 $ψ$-Hilfer 算子在建模具有非奇异性和非局部记忆特性的现实世界现象方面有何优势？

主要发现

• 在较弱的 Lipschitz 和增长条件下，通过不动点理论建立了解的存在性与唯一性。
• 通过积分估计与比较技术，证明了非线性分数阶 Cauchy 问题的 Ulam-Hyers 稳定性。
• 通过引入控制函数以界定扰动，实现了 Ulam-Hyers-Rassias 稳定性，从而推广了经典稳定性概念。
• 通过具体 $ψ$-函数的示例验证了结果，展示了理论框架的适用性。