[论文解读] On the Ulam Type Stability of Nonlinear Volterra Integral Equations

Süleyman Öğrekçi, Yasemin Başçı+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Functional Equations Stability Results被引用 1

一句话总结

本文通过固定点替代方法，建立了非线性 Volterra 积分方程的改进型 Hyers-Ulam 和 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性结果。通过引入广义度量和指数权函数，作者消除了对 KL < 1 和 ∫ϕ(s)ds ≤ Kϕ(t) 等限制性条件的依赖，将先前的稳定性定理推广至更广泛的方程类别，包括 Lipschitz 常数 L > 1 的情形。

ABSTRACT

In this paper, we examine the Hyers-Ulam and Hyers-Ulam-Rassias stability of solutions of a general class of nonlinear Volterra integral equations. By using a fixed point alternative and improving a technique commonly used in similar problems, we extend and improve some well-known results on this problem. We also provide some examples visualizing the improvement of the results mentioned.

研究动机与目标

• 将非线性 Volterra 积分方程的 Hyers-Ulam 和 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性结果推广至现有约束之外的范围。
• 消除先前稳定性定理中对 KL < 1 和 ∫ϕ(s)ds ≤ Kϕ(t) 等限制性假设的需求。
• 将稳定性结果推广至 Lipschitz 常数 L 超过 1 的情形，而这是先前定理无法处理的情况。
• 通过广义度量和指数权函数，提供一个统一的框架以增强稳定性分析。

提出的方法

• 引入一个广义度量空间 (X, d)，其定义为：若对所有 t，有 |g1(t) - g2(t)|e^{-η(t−t₀)} ≤ Cϕ(t)，则 d(g1, g2) ≤ C。
• 将固定点替代定理（定理 2.2）应用于由 (Θy)(t) = ∫ₜ₀ᵗ f(t,s,y(s))ds 定义的严格压缩算子 Θ。
• 使用指数权因子 e^{η(t−t₀)}，其中 η > L，以控制增长并确保收敛性。
• 通过不等式 |y(t) - y₀(t)| ≤ ϕ(t)e^{ηr}/(1 - L/η) 建立稳定性，该不等式对任意 η > L 成立。
• 证明算子 Θ 是严格压缩的，其压缩常数为 L/η < 1。
• 应用固定点定理，证明存在唯一解 y₀ 满足该误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 ∫ϕ(s)ds ≤ Kϕ(t) 和 KL < 1 的前提下，建立 Volterra 积分方程的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性？
• RQ2 是否能够通过固定点方法实现 Lipschitz 常数 L > 1 的方程的 Hyers-Ulam 稳定性？
• RQ3 与经典方法相比，指数权函数 e^{η(t−t₀)} 的选择如何改善稳定性估计？
• RQ4 固定点替代方法能否适用于具有非恒定核函数和一般 ϕ(t) 误差界的情形？
• RQ5 近似误差的定量界如何用 ϕ(t) 和 Lipschitz 常数 L 表示？

主要发现

• 本文在无需依赖 ∫ₐᵗ ϕ(s)ds ≤ Kϕ(t) 这一限制性条件的前提下，建立了 Volterra 积分方程的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性。
• 作者证明了对于任意 Lipschitz 常数 L > 0 的方程，包括 Lr ≥ 1 的情形，均存在 Hyers-Ulam 稳定性，而此类情形会使得先前的定理（如文献 [25] 中的定理 3.1）失效。
• 误差界被显式给出为 |y(t) - y₀(t)| ≤ ϕ(t)e^{ηr}/(1 - L/η)，对任意 η > L 成立，优于以往需要更强假设的结果。
• 当误差为常数 ε 时，该界变为 |y(t) - y₀(t)| ≤ εe^{ηr}/(1 - L/η)，对所有 η > L 成立，表明即使在 L > 1 的情况下也保持稳定性。
• 该方法具有普适性，适用于第一类和第二类 Volterra 方程，如定理 2.4 和 2.7 所示。
• 实例验证表明，新结果可应用于先前定理失效的情形，例如当 KL > 1 或 Lr > 1 时，充分展示了其实际改进效果。