[论文解读] On the Ultrarelativistic Limit of General Relativity

G. Daŭtcourt|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 1998

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用 25

一句话总结

本文提出广义相对论的超光速极限，其中光速趋于零，导致光锥在五维时空中坍缩为一个零性超曲面。该理论的场方程由常微分方程取代偏微分方程，遵循卡罗尔群对称性，引力动力学被简化为一种类牛顿的超局部近似，但具有快子演化特性且无空间传播。

ABSTRACT

As is well-known, Newton's gravitational theory can be formulated as a four-dimensional space-time theory and follows as singular limit from Einstein's theory, if the velocity of light tends to the infinity. Here 'singular' stands for the fact, that the limiting geometrical structure differs from a regular Riemannian space-time. Geometrically, the transition Einstein to Newton can be viewed as an 'opening' of the light cones. This picture suggests that there might be other singular limits of Einstein's theory: Let all light cones shrink and ultimately become part of a congruence of singular world lines. The limiting structure may be considered as a nullhypersurface embedded in a five-dimensional spacetime. While the velocity of light tends to zero here, all other velocities tend to the velocity of light. Thus one may speak of an ultrarelativistic limit of General Relativity. The resulting theory is as simple as Newton's gravitational theory, with the basic difference, that Newton's elliptic differential equation is replaced by essentially ordinary differential equations, with derivatives tangent to the generators of the singular congruence. The Galilei group is replaced by the Carroll group introduced by Lévy-Leblond. We suggest to study near ultrarelativistic situations with a perturbational approach starting from the singular structure, similar to post-Newtonian expansions in the $c o \infty$ case.

研究动机与目标

• 探索广义相对论的一个新颖奇异极限，其中光速趋于零，与标准牛顿极限（c→∞）相反。
• 表征该极限下时空的几何结构，识别其为嵌入五维中的四维零性超曲面。
• 推导该超光速区域的场方程，表明其沿零测地线生成元简化为常微分方程。
• 确立该极限的对称群为卡罗尔群，与牛顿极限中的伽利略群形成对比。
• 提出一种微扰后超光速展开方法，用于研究该奇异极限附近的强引力现象。

提出的方法

• 引入一个具有退化度规的奇异黎曼空间 $V^{(1)}_4$，其中不存在唯一连接，但可定义里奇旋光系数。
• 使用适配坐标简化几何结构，并在超光速极限下推导场方程。
• 从一族度规 $g_{\mu\nu}(x^\mu, \epsilon)$ 的爱因斯坦方程出发，其中 $\epsilon = c^2 \to 0$，导出对三维度规 $\gamma_{ik}$ 和标量函数 $H$ 的约束。
• 通过将方程约化为时间变量 $v = \partial/\partial v$ 上的常微分方程组，求解真空与尘埃物质情形，初始条件来自 (26) 和 (27)，传播通过 (28)。
• 应用约束 $\dot{\gamma}_{ik}\gamma^{kl}\dot{H}_{,l} = 0$ 确定 $H$ 的函数形式，得到解 $H = h(v) + hh(\xi^i)$。
• 推导共动坐标下物质密度的演化，表明 $\rho \sim (\det \gamma_{ik})^{-1/2}$，与超光速极限下的守恒律一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当光速趋于零时，时空的几何结构是什么？
• RQ2 广义相对论的场方程在该超光速极限下如何简化？
• RQ3 卡罗尔群作为该极限下的对称群，其作用是什么？与牛顿极限中伽利略群有何不同？
• RQ4 能否构建一种微扰后超光速展开方法，以恢复奇异极限中丢失的动力学行为？
• RQ5 在该超光速框架下，真空与尘埃物质的解如何演化？其物理意义为何？

主要发现

• 超光速极限导致一种退化时空结构，其中光锥坍缩为嵌入五维中的零性超曲面 $V^{(1)}_4$。
• 场方程沿零测地线生成元简化为常微分方程，无空间传播，仅存在快子演化。
• 真空场方程由 (26)–(28) 给出，构成一个初值问题，约束在时间演化中保持不变。
• 对于尘埃物质，传播方程 (33) 包含一个与 $\rho e^H$ 成正比的源项，若 $\rho \sim (\det \gamma_{ik})^{-1/2}$，则标量约束 (34) 保持不变。
• 在示例 (31)–(32) 中，解在 $v = -a/b$ 处出现焦散点，表明超光速波动力学中存在奇异行为。
• 在各向同性膨胀情形下，物质密度演化为 $\rho \sim (1 + \frac{9}{4r_0^3} \int \lambda \, dv)^{-2/3}$，在原点处表现出类似广义相对论的奇点。