[论文解读] On the uncomputability of the spectral gap

Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文回顾了能够实现通用计算的量子哈密顿系统中能隙不可计算性的研究，证明由于停机（离散、有能隙）与非停机（连续、无能隙）计算之间的谱区分，能隙是不可判定的。该结果源于将停机问题映射到幺正和哈密顿模型的谱性质，其中费曼哈密顿量是一个关键示例，其能隙的可计算性取决于停机问题的不可判定性。

ABSTRACT

This paper reviews the 1994 proof that the spectral gap of Hamiltonian quantum systems capable of universal computation is uncomputable.

研究动机与目标

• 以现代量子信息语言重新诠释和重述1994年关于能隙不可计算性的证明。
• 阐明停机问题的不可判定性与量子系统谱性质之间基本机制的联系。
• 对比原始模型（本奥夫、多伊奇、费曼、马戈拉斯）与科比特等人近期的平面化、物理类比系统。
• 强调能隙不可计算性并非新发现，而早在基础量子计算模型中即已确立。

提出的方法

• 通过带时钟寄存器的幺正演化建模量子计算，该寄存器追踪时间步数，使用态 $|\ell\rangle$ 表示计算时间。
• 定义幺正演化算符 $U = \sum_{\ell} U_{\ell} \otimes |\ell+1\rangle\langle\ell|$，其中 $U_{-\ell} = U_{\ell}^\dagger$ 以允许反向演化。
• 引入符号量子比特使停机计算呈现循环性，确保有限计算存在本征态。
• 通过 $H = U + U^\dagger$ 将幺正演化转换为哈密顿量，以描述连续时间动力学。
• 通过推导其本征值为 $2\cos(2\pi k/m)$（停机情形）和 $2\cos(2\pi a)$（非停机情形）来分析 $H$ 的谱。
• 确立能隙的存在性取决于计算是否停机，而这是由停机问题不可判定的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否算法地计算出具备通用量子计算能力的哈密顿系统能隙？
• RQ2 量子计算的停机行为如何影响其关联哈密顿量的谱性质？
• RQ3 停机问题的不可判定性与量子系统中能隙之间存在何种关系？
• RQ4 为何尽管费曼哈密顿量模型具有物理上的简洁性，其能隙仍不可计算？
• RQ5 能隙不可计算性在多大程度上依赖于模型结构，如时钟寄存器的存在？

主要发现

• 具备通用量子计算能力的哈密顿系统能隙不可计算，因其依赖于停机问题的不可判定性。
• 对于停机计算，幺正演化算符 $U$ 的谱是离散的，本征值为 $e^{2\pi i k/m}$，导致对应哈密顿量 $H = U + U^\dagger$ 具有有限能隙。
• 对于非停机计算，$U$ 的谱变为连续的，本征值为 $e^{2\pi i a}$（$a \in [0,1)$），导致 $H$ 的谱无能隙。
• 哈密顿量 $H$ 的本征态与 $U$ 相同，停机情形下形式为均匀叠加 $|k,b_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{m}} \sum_{\ell=0}^{m-1} e^{-2\pi i k\ell/m} U^\ell |b_0\rangle |0\rangle$，非停机情形下为平面波 $|a,b_0\rangle = \sum_{\ell=-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i a\ell} U^\ell |b_0\rangle |0\rangle$。
• 费曼哈密顿量的能隙不可计算，因为判断谱是离散还是连续等价于求解停机问题。
• 该结果建立了量子计算、不可判定性与谱理论之间的基础联系，表明即使在原则上，能隙也无法被算法确定。