[论文解读] On the Union Closed Fragment of Existential Second-Order Logic and Logics with Team Semantics

Matthias Hoelzel, Richard Wilke|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 3

一句话总结

本文提出了一种类句法正则形式——myopic-Σ₁¹，用于刻画存在第二阶逻辑（Σ₁¹）及团队语义逻辑中的并集闭合片段。文章引入包含-排除游戏作为该片段的模型检查游戏，并证明并集游戏——这些游戏的受限版本——精确捕捉了并集闭合公式的语义。关键贡献在于正面回答了Galliani与Hella提出的开放问题：定义了一种新的基于团队的原子，当其被添加到一阶逻辑中时，恰好捕捉了Σ₁¹的并集闭合片段。

ABSTRACT

We present syntactic characterisations for the union closed fragments of existential second-order logic and of logics with team semantics. Since union closure is a semantical and undecidable property, the normal form we introduce enables the handling and provides a better understanding of this fragment. We also introduce inclusion-exclusion games that turn out to be precisely the corresponding model-checking games. These games are not only interesting in their own right, but they also are a key factor towards building a bridge between the semantic and syntactic fragments. On the level of logics with team semantics we additionally present restrictions of inclusion-exclusion logic to capture the union closed fragment. Moreover, we define a team based atom that when adding it to first-order logic also precisely captures the union closed fragment of existential second-order logic which answers an open question by Galliani and Hella.

研究动机与目标

• 为存在第二阶逻辑（Σ₁¹）的并集闭合片段提供一种句法刻画，该片段原本以语义方式定义且不可判定。
• 通过引入一种正则形式及相应的博弈论模型检查游戏，弥合语义闭包性质（如并集闭包）与句法片段之间的鸿沟。
• 解决Galliani与Hella关于是否存在一种一阶可定义的原子依赖概念，能捕捉包含-排除逻辑中并集闭合片段的开放问题。
• 建立包含-排除游戏与并集闭合公式模型检查游戏之间的对应关系，从而连接博弈论方法与句法方法。
• 定义一种新的基于团队的原子，当其被添加到一阶逻辑中时，能精确捕捉Σ₁¹的并集闭合片段，从而提供一种新的逻辑刻画。

提出的方法

• 引入myopic-Σ₁¹正则形式，即Σ₁¹的一种句法限制，通过限制二阶变量的量化模式来刻画并集闭合公式。
• 为带有自由关系变量X的公式定义包含-排除游戏，作为模型检查游戏，其中策略必须对特定关系Y足够充分以满足ϕ(Y)。
• 引入并集游戏作为包含-排除游戏的受限变体，其与并集闭合Σ₁¹公式的模型检查游戏精确对应。
• 构建从包含-排除游戏到myopic-Σ₁¹公式的翻译，证明此类游戏的获胜区域可在myopic片段中定义。
• 证明每个包含游戏可通过特定构造（涉及myopic句子）转化为等价的并集游戏，从而建立博弈论刻画与句法刻画之间的等价性。
• 引入一种新的基于团队语义的原子∪-game，当其被添加到一阶逻辑中时，能精确捕捉Σ₁¹的并集闭合片段，从而正面回答了Galliani与Hella提出的开放问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种句法刻画方式，使得存在第二阶逻辑的并集闭合片段可被形式化，尽管并集闭包是一种语义性质且不可判定？
• RQ2 是否存在一种博弈论模型检查框架，能精确捕捉Σ₁¹中并集闭合公式的语义？
• RQ3 能否在团队语义中定义一种新的原子依赖概念，使得FO(β)恰好捕捉Σ₁¹的并集闭合片段？
• RQ4 包含-排除游戏与安全游戏（I-traps）在包含逻辑与最大不动点逻辑模型检查的语境下有何关联？
• RQ5 myopic-Σ₁¹正则形式是否足以表达所有并集闭合公式？其是否可用于定义适用于复杂性理论分析的实际逻辑片段？

主要发现

• myopic-Σ₁¹正则形式为存在第二阶逻辑的并集闭合片段提供了句法刻画，使得对这一原本不可判定的语义类的推理成为可能。
• 包含-排除游戏被确立为带有自由关系变量的Σ₁¹公式之正确模型检查游戏，其中策略必须对特定关系Y足够充分以满足ϕ(Y)。
• 并集游戏——包含-排除游戏的受限版本——被证明是并集闭合Σ₁¹公式之精确模型检查游戏，从而在语义与博弈论之间建立了直接联系。
• 本文正面回答了Galliani与Hella提出的开放问题：当新定义的基于团队的原子∪-game被添加到一阶逻辑中时，其恰好捕捉了Σ₁¹的并集闭合片段。
• 每个包含游戏可通过基于myopic句子的构造转化为等价的并集游戏，该等价性通过引理4.8与命题5.4得到证明。
• 安全游戏（I-traps）与包含游戏之间的联系得到澄清：每个安全游戏对应一个包含游戏，反之亦然，表明包含游戏是此类语境下安全游戏的自然推广。