[论文解读] On the Uniqueness of Kantorovich Potentials

Thomas Staudt, Shayan Hundrieser+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 7

一句话总结

本文在源测度和目标测度的支持均不连通的情况下，建立了Kantorovich势函数唯一性的温和充分条件——挑战了长期以来认为连通支持是唯一性必要条件的假设。通过引入诱导正则性，并利用c-变换的非退化性与连续性，作者证明了势函数几乎必然唯一确定（至多相差一个常数），将经典结果推广至一般代价函数和测地空间。

ABSTRACT

Kantorovich potentials denote the dual solutions of the renowned optimal transportation problem. Uniqueness of these solutions is relevant from both a theoretical and an algorithmic point of view, and has recently emerged as a necessary condition for asymptotic results in the context of statistical and entropic optimal transport. In this work, we challenge the common perception that uniqueness in continuous settings is reliant on the connectedness of the support of at least one of the involved measures, and we provide mild sufficient conditions for uniqueness even when both measures have disconnected support. Since our main finding builds upon the uniqueness of Kantorovich potentials on connected components, we revisit the corresponding arguments and provide generalizations of well-known results. To this end, we introduce the notion of induced regularity and employ it to extend the regularity theory of Kantorovich potentials advanced by Gangbo and McCann (1996) to more general cost functions in $\mathbb{R}^d$ and to geodesic spaces.

研究动机与目标

• 本文针对长期存在的假设：Kantorovich势函数唯一性要求支持连通，提出质疑。
• 研究在支持不连通的连续设置下，是否可保证唯一性。
• 目标是通过正则性与非退化性条件，将唯一性结果推广至非连通支持。
• 旨在将线性规划中有限空间的唯一性结果与连续最优传输理论相衔接。
• 寻求在统计与熵最优传输中可实际验证的唯一性条件。

提出的方法

• 作者引入了'诱导正则性'的概念，将Kantorovich势函数正则性理论的适用范围扩展至标准代价函数之外。
• 证明了若任意Kantorovich势函数的c-变换在目标测度的支持上连续，则唯一性可被确立。
• 证明依赖于通过最优传输计划在源测度的连通分支与目标支持中的公共接触点之间建立联系。
• 利用测度的非退化性（即对真子集的质量分配不相等）来确保不同分支上的势函数被唯一关联。
• 该方法将Gangbo与McCann（1996）的结果推广至测地空间与更一般的代价函数。
• 作者运用涉及闭集与支持连通性的拓扑论证，表明通过链接的分支必须共享相同的势函数差，从而强制唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当源测度与目标测度的支持均不连通时，Kantorovich势函数在连续最优传输中是否可被唯一确定？
• RQ2 除支持连通性外，哪些条件可确保Kantorovich势函数的唯一性？
• RQ3 如何将线性规划中有限空间的唯一性结果推广至连续设置？
• RQ4 c-变换的连续性在强制势函数唯一性中起何种作用？
• RQ5 在支持不连通的设置下，测度的非退化性是否可作为唯一性的充分条件？

主要发现

• 本文证明，当f^c在ν的支持上连续时，Kantorovich势函数几乎必然唯一确定（至多相差一个常数）。
• 唯一性在温和条件下成立：f^c在supp(ν)上连续，μ与ν非退化，且在每个连通分支上唯一。
• 作者表明，非退化性将不连通分支上的势函数关联起来，防止独立的常数偏移。
• 对于可数指标集，通过修改证明可处理零测度分支及非闭集的情形。
• 该理论适用于R^d上的通用代价函数与测地空间，推广了Gangbo与McCann（1996）的先前结果。
• 该工作为统计与熵最优传输中唯一性的验证提供了构造性框架，此类条件对渐近结果至关重要。