[论文解读] On the universal abelian variety of dimension 4

Alessandro Verra|ArXiv.org|Nov 25, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文证明了模空间 $\mathcal{A}_4$ 上的普遍主极化阿贝尔簇及其普遍theta除子均为有理可约的。通过使用Prym簇、亏格5曲线的étale双覆盖以及具有Nikulin对合的K3曲面，作者构建了嵌入到 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 中的曲线上的0-循环的有理参数空间，表明模族支配一个有理曲面，从而确立了在维数4时，普遍主极化阿贝尔簇与普遍theta除子的有理可约性。

ABSTRACT

Let A be the moduli space of principally polarized abelian varieties of dimension 4 over an algebraically closed field k of characteristic different from 2,3. It is proved that the universal principally polarized abelian variety over A, as well as the universal theta divisor over A, are unirational varieties.

研究动机与目标

• 确定模空间 $\mathcal{A}_4$ 上的普遍主极化阿贝尔簇 $\mathcal{X}_4$ 的双有理几何性质。
• 研究 $\mathcal{A}_4$ 上的普遍theta除子是否为有理可约、有理或一般型。
• 解决关于 $g=4$ 时 $\mathcal{X}_g$ 的Kodaira维数与有理性的一个开放问题，尤其关注其有理可约性与有理连通性。
• 通过涉及Prym簇与K3曲面的几何构造，将已知的 $\mathcal{A}_4$ 的有理可约性推广至其普遍族与普遍theta除子。

提出的方法

• 通过在 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 中的嵌入，为亏格5曲线的étale双覆盖 $\tilde{C} \to C$ 上的0-循环 $d$ 构造一个有理参数空间。
• 利用K3曲面 $\tilde{S}$ 作为 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 中的完全交，其上存在一个Nikulin对合，且在曲线上限制为无不动点的对合。
• 通过 $\tilde{S}$ 上的点、圆锥与除子的构型，定义类型1与类型2的标记0-循环，确保线性系统为八次的线性系统。
• 构造一族 $\tilde{\mathbb{C}}_i$ 的四元组 $(o, \tilde{S}, d, \tilde{C})$，通过遗忘映射 $\phi_i$ 从模空间的Prym簇上满射。
• 利用Petri映射的余秩为1，以及 $|d|$ 的无基点性，确保参数空间上存在有理结构。
• 应用奇偶性引理与超平面截面的性质，验证横截性与不可约性，确保映射 $\phi_i$ 的支配性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathcal{A}_4$ 上的普遍主极化阿贝尔簇 $\mathcal{X}_4$ 是否为有理可约？
• RQ2 在 $\mathcal{A}_4$ 上的普遍theta除子是否为有理可约？
• RQ3 能否通过Prym构造将 $\mathcal{A}_4$ 的有理可约性提升至其普遍族与普遍theta除子？
• RQ4 何种几何结构——如具有Nikulin对合的K3曲面与嵌入到 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 的结构——能够实现模空间的有理参数化？

主要发现

• 在 $\mathcal{A}_4$ 上的普遍主极化阿贝尔簇是有理可约的，由有理族 $\tilde{\mathbb{C}}_1$ 上的支配有理映射 $\phi_1: \tilde{\mathbb{C}}_1 \to \mathcal{W}_1$ 确立。
• 在 $\mathcal{A}_4$ 上的普遍theta除子是有理可约的，源于从有理族四元组到 $\mathcal{W}_2$ 的支配有理映射 $\phi_2: \tilde{\mathbb{C}}_2 \to \mathcal{W}_2$。
• $\mathbb{D}_1$ 类型1的标记0-循环族是有理的，为构造提供了有理参数空间。
• 线性系统 $|\operatorname{Im} \mu|$ 定义了 $\tilde{C}$ 到 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 的嵌入，其线性张量为 $\mathbb{P}^8$ 中的一个超平面，从而实现了几何构造。
• 对一般的 $\tilde{C}$，Petri映射 $\mu: H^0(L) \otimes H^0(i^*L) \to H^0(\omega_{\tilde{C}})$ 的余秩为1，确保了所需线丛与嵌入的存在性。
• 对 $i=1,2$，映射 $\phi_i: \tilde{\mathbb{C}}_i \to \mathcal{W}_i$ 是支配的，确认了普遍主极化阿贝尔簇与普遍theta除子的有理可约性。