[论文解读] On the universal Gröbner bases of toric ideals of graphs

Christos Tatakis, Apostolos Thoma|arXiv (Cornell University)|May 24, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 8被引用 7

一句话总结

该论文通过图论条件刻画了任意有限简单图的环理想通用Gröbner基，建立了具有 $ n $ 个顶点的图的通用Gröbner基中双项式的次数上界为 $ n-2 $，并给出了一个反例，推翻了Sturmfels关于圈的真次数限制Graver基元素次数的猜想，表明某些Graver基元素的真次数可严格大于任何圈的次数。

ABSTRACT

The universal Gröbner basis of $I$, is a Gröbner basis for $I$ with respect to all term orders simultaneously. Let $I_G$ be the toric ideal of a graph $G$. We characterize in graph theoretical terms the elements of the universal Gröbner basis of the toric ideal $I_G$. We provide a bound for the degree of the binomials in the universal Gröbner basis of the toric ideal of a graph. Finally we give a family of examples of circuits for which their true degrees are less than the degrees of some elements of the Graver basis.

研究动机与目标

• 通过纯粹图论术语刻画图的环理想通用Gröbner基中元素的性质。
• 为图的环理想通用Gröbner基中双项式的次数建立上界。
• 研究圈的次数与Graver基元素之间关系，尤其关注Sturmfels的猜想。
• 提供显式例子，表明Graver基中的某些元素其真次数可超过任一圈的次数，从而否定关于次数上界的猜想。

提出的方法

• 作者通过偶闭迹定义图的环理想，将每条这样的迹 $ w $ 关联到一个双项式 $ B_w = E^+(w) - E^-(w) $。
• 通过要求迹 $ w $ 为混合迹（即不包含纯块，亦即不存在所有边在某一单项式中重复出现的子迹）来刻画其属于通用Gröbner基的条件。
• 利用迹的块分解（划分为环状与桥边成分）分析次数与结构，尤其关注块的数量与顶点覆盖情况。
• 推导出圈的真次数的上界 $ d imes ext{index}(C) imes ext{degree}(C) $，并与Graver基元素的次数进行比较。
• 构造一类图：中心为长度 $ s $ 的环，每个顶点连接 $ s $ 个长度为 $ l $ 的奇圈，分析覆盖所有边的迹，生成高次Graver基元素。
• 证明当 $ l $ 和 $ s $ 足够大时，此类Graver基元素的次数 $ s(l+1)/2 $ 超过最大圈的次数 $ l + s - 1 $，且该圈的真次数等于其通常次数，从而否定Sturmfels的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 图中哪些偶闭迹对应于其环理想通用Gröbner基中的双项式？
• RQ2 具有 $ n $ 个顶点的图的环理想通用Gröbner基中，双项式的最大可能次数是多少？
• RQ3 图的环理想Graver基中是否存在其真次数超过所有圈的元素？
• RQ4 Sturmfels提出的关于圈的真次数限制所有Graver基元素次数的猜想是否对图的环理想成立？

主要发现

• 图的环理想通用Gröbner基恰好由与混合偶闭迹对应的双项式组成，其中迹为混合迹当且仅当其不包含任何纯块。
• 具有 $ n $ 个顶点的图的环理想通用Gröbner基中，任意双项式的最大次数为 $ n - 2 $，且该上界是紧的。
• 对于由长度为 $ s $ 的中心环和 $ s $ 个长度为 $ l $ 的附着奇圈构成的图，其Graver基中包含一个次数为 $ s(l+1)/2 $ 的双项式，该次数超过最大圈的次数 $ l + s - 1 $。
• 此类图中最大次数圈的真次数等于其通常次数，因此真次数并未提高上界。
• 该构造为Sturmfels的猜想（即任一圈的真次数可限制Graver基中所有元素的次数）提供了反例。
• 尽管高次Graver基元素不在通用Gröbner基中（因其为纯迹），但通过稍作修改的混合迹可得到一个具有相同高次的双项式，该双项式属于通用Gröbner基，从而保持了反例的有效性。