[论文解读] On the universality of the incompressible Euler equation on compact manifolds, II. Non-rigidity of Euler flows

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用 10

一句话总结

该论文表明，通过将紧致黎曼流形与环面的度量乘积进行延拓，光滑不可压缩欧拉流的空间变得非刚性——这意味着任意非空开集的此类流均可被不可压缩欧拉方程的解光滑逼近。这支持了欧拉流在紧致流形上具有普遍性的猜想。

ABSTRACT

The incompressible Euler equations on a compact Riemannian manifold $(M,g)$ take the form \begin{align*} \partial_t u + abla_u u &= - \mathrm{grad}_g p \\ \mathrm{div}_g u &= 0, \end{align*} where $u: [0,T] o Γ(T M)$ is the velocity field and $p: [0,T] o C^\infty(M)$ is the pressure field. In this paper we show that if one is permitted to extend the base manifold $M$ by taking an arbitrary warped product with a torus, then the space of solutions to this equation becomes "non-rigid'"in the sense that a non-empty open set of smooth incompressible flows $u: [0,T] o Γ(T M)$ can be approximated in the smooth topology by (the horizontal component of) a solution to these equations. We view this as further evidence towards the "universal" nature of Euler flows.

研究动机与目标

• 研究紧致黎曼流形上的不可压缩欧拉方程是否通过允许任意光滑不可压缩流被逼近为解，而表现出某种形式的普遍性。
• 分析当基流形通过与环面的度量乘积延拓时，欧拉流的结构灵活性（非刚性）。
• 为欧拉流可模拟任意有限维动力系统的猜想提供证据，暗示在三维情形下可能存在有限时间内的爆破。
• 建立光滑欧拉方程解可被构造以逼近修改后流形上任意给定的光滑不可压缩向量场。

提出的方法

• 通过取与环面 $\mathbb{T}^k$ 的度量乘积，扩展基流形 $M$，从而在解空间中引入额外自由度。
• 使用彭罗斯抽象指标记号和局部坐标，以协变形式表达欧拉方程：$\partial_t u^k + u^j \nabla_j u^k = -\nabla^k p$ 和 $\nabla_k u^k = 0$。
• 利用索伯列夫范数 $E_s^{(N)}$ 进行能量估计，以控制近似解 $v^{(N)}$ 的高阶导数。
• 应用微积分基本定理和法图-布龙多公式，以控制涉及 $H^{(N)}(t,x,B^{(N)})$ 的复合函数的导数。
• 利用椭圆正则性和赫尔德不等式，通过由动量方程散度导出的泊松方程控制与压强相关的项 $q^{(N)}$。
• 应用连续性论证，表明能量 $E_s^{(N)}(t)$ 在时间上一致有界，暗示近似解平滑收敛于目标流。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通过环面延拓流形后，紧致流形上任意光滑不可压缩向量场是否可被不可压缩欧拉方程的解逼近？
• RQ2 欧拉方程系统具有何种结构特性，使其能够实现此类逼近？度量乘积构造如何实现这种灵活性？
• RQ3 在延拓流形上欧拉流的非刚性是否支持有限维系统中欧拉动力学的普遍性？
• RQ4 欧拉方程在多大程度上可通过底层流形的几何修改来模拟任意光滑流？
• RQ5 能量方法与索伯列夫估计是否可用于证明此非刚性设定下近似解的光滑可解性与收敛性？

主要发现

• 在通过环面延拓流形后，紧致黎曼流形上任意非空开集的光滑不可压缩流，其水平分量均可被不可压缩欧拉方程的解光滑逼近。
• 近似解的能量 $E_s^{(N)}(t)$ 在时间上一致有界，并且当 $N \to \infty$ 时趋于零，暗示其平滑收敛于目标流。
• 该逼近在时间区间 $[0,T]$ 上一致成立，且初值问题的解在所有 $t \in [0,T]$ 上平滑且唯一存在。
• 通过应用于能量估计的连续性论证，建立了非刚性结果，表明逼近误差不会随时间增长。
• 关键技术步骤是利用索伯列夫嵌入和赫尔德不等式控制能量不等式中的非线性项，得到 $O((E_s^{(N)})^{3/2})$ 和 $O((E_s^{(N)})^{s/2} E_s^{(N)})$ 阶的界。
• 该结果支持更广泛的猜想：不可压缩欧拉方程具有普遍性，可在紧致流形上编码任意有限维动力系统。