[论文解读] On the use of the Edgeworth expansion in cosmology I: how to foresee and evade its pitfalls

Elena Sellentin, Andrew H. Jaffe+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Statistical and numerical algorithms参考文献 4被引用 11

一句话总结

本文重新推导了宇宙学非高斯场的累积量展开式，并识别出其在被天真应用时的病态行为——如发散的近似和振荡的误差。它提出了一套受控框架，通过基于误差估计的谨慎截断来预测并避免这些陷阱，从而实现对非高斯大尺度结构数据中参数推断的可靠使用。

ABSTRACT

Non-linear gravitational collapse introduces non-Gaussian statistics into the matter fields of the late Universe. As the large-scale structure is the target of current and future observational campaigns, one would ideally like to have the full probability density function of these non-Gaussian fields. The only viable way we see to achieve this analytically, at least approximately and in the near future, is via the Edgeworth expansion. We hence rederive this expansion for Fourier modes of non-Gaussian fields and then continue by putting it into a wider statistical context than previously done. We show that in its original form, the Edgeworth expansion only works if the non-Gaussian signal is averaged away. This is counterproductive, since we target the parameter-dependent non-Gaussianities as a signal of interest. We hence alter the analysis at the decisive step and now provide a roadmap towards a controlled and unadulterated analysis of non-Gaussianities in structure formation (with the Edgeworth expansion). Our central result is that, although the Edgeworth expansion has pathological properties, these can be predicted and avoided in a careful manner. We also show that, despite the non-Gaussianity coupling all modes, the Edgeworth series may be applied to any desired subset of modes, since this is equivalent (to the level of the approximation) to marginalising over the exlcuded modes. In this first paper of a series, we restrict ourselves to the sampling properties of the Edgeworth expansion, i.e.~how faithfully it reproduces the distribution of non-Gaussian data. A follow-up paper will detail its Bayesian use, when parameters are to be inferred.

研究动机与目标

• 解决由于非线性引力坍缩导致的晚期大尺度结构中非高斯统计建模缺乏通用分析框架的问题。
• 诊断标准累积量展开式在宇宙学应用中失败的原因，特别是其产生非物理振荡和发散近似的倾向。
• 开发一种系统方法，以预测并避免累积量级数在非高斯场分析中的病态行为。
• 通过确保以受控的、非随意的方式应用，使累积量展开式成为宇宙学中参数推断的可靠工具。

提出的方法

• 重新推导非高斯宇宙学场傅里叶模的累积量展开式，将其置于比以往更广泛的统计背景中。
• 识别出原始累积量展开式仅在非高斯信号被平均时才收敛——这使其在检测依赖于参数的非高斯性时失效。
• 提出一种改进的分析策略，避免对非高斯信号进行平均，从而在保持分析控制的同时保留感兴趣的信号。
• 证明累积量级数可应用于任意傅里叶模的子集，因为这在近似水平上等价于对被排除的模进行边缘化。
• 利用渐近级数理论分析累积量展开式的误差行为，表明其虽发散但可通过误差预测实现最优截断。
• 提出一种通过监测误差行为来预测累积量级数最优截断点的方法，避免非物理振荡和负似然值。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准累积量展开式在应用于宇宙学非高斯场时会失败，尽管其理论吸引力显著？
• RQ2 如何修改累积量展开式以保留感兴趣的非高斯信号，而非将其平均掉？
• RQ3 在非高斯场分析中，累积量级数的最优截断点由什么决定，如何对其进行预测？
• RQ4 能否在不损失统计一致性的情况下，将累积量展开式有意义地应用于傅里叶模的子集？
• RQ5 累积量展开式中的病态行为（如振荡误差和负似然值）是如何产生的，能否系统性地避免？

主要发现

• 原始累积量展开式在宇宙学应用中具有病态行为，因为它仅在非高斯信号被平均时才收敛，这使其无法实现检测依赖于参数的非高斯性的目的。
• 累积量级数对所有实际用途而言都是渐近级数且发散，但其误差行为可通过谨慎截断实现预测与控制。
• 在累积量展开式中增加高阶项并不保证精度提升；相反，误差可能先减小后增大，导致虚假次极大值和负似然值等非物理特征。
• 通过分析误差行为，可以预测累积量级数的最优截断点，从而避免非物理近似。
• 对傅里叶模子集应用累积量展开式在统计上是有效的，且等价于对被排除的模进行边缘化，从而可在相关尺度上实现聚焦分析。
• 所提出的方法使累积量展开式在宇宙学中得以受控、未经篡改地使用，为将其应用于贝叶斯参数推断铺平了道路。