[论文解读] On the use of the Riesz transforms to determine the pressure term in the incompressible Navier-Stokes equations on the whole space

Borys Álvarez-Samaniego, Wilson P. Álvarez-Samaniego+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文在全 d 维欧氏空间（d = 2,3）上，利用 Riesz 变换，为不可压缩 Navier-Stokes 方程中的压力梯度建立了一个新公式。在速度和外力的加权 L² 与 L^p 条件下，证明了 ∇p = ∇∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj - Fi,j) 成立，通过使用 Riesz 变换而非基本解的卷积，简化了压力重构，改进了先前结果。

ABSTRACT

We give some conditions under which the pressure term in the incompressible Navier-Stokes equations on the entire $d$-dimensional Euclidean space is determined by the formula $\displaystyle abla p = abla \left(\sum_{i,j=1}^d \mathcal{R}_i \mathcal{R}_j (u_i u_j - F_{i,j}) ight)$, where $d \in \{2, 3\}$, ${ extbf{u}} := (u_1, \ldots, u_d)$ is the fluid velocity, $\mathbb{F}:= (F_{i,j})_{1\le i,j\le d}$ is the forcing tensor, and for all $k \in \{1, \ldots, d\}$, $\mathcal{R}_k$ is the $k$-th Riesz transform.

研究动机与目标

• 为 R^d（d=2,3）上的不可压缩 Navier-Stokes 方程中的压力梯度提供一种简化且显式的公式，避免使用复杂的积分表示。
• 在 Fernández-Dalgo 和 Lemarié-Rieusset 之前结果的基础上进行扩展和改进，特别是通过与基本解卷积来表征压力的方法。
• 建立压力梯度可直接通过 Riesz 变换计算的条件，从而在加权函数空间中更易于分析解的性质。
• 将 Riesz 变换的应用推广至压力重构，利用其在具有 Muckenhoupt 权重的加权 L^p 空间上的有界性。
• 通过为压力项提供一个可处理的表达式，促进在加权 L² 空间中对解的存在性、唯一性和正则性的研究。

提出的方法

• 利用无散条件和 Navier-Stokes 方程的结构，推导出压力梯度公式 ∇p = ∇∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj - Fi,j)。
• 将 Riesz 变换 Rₖ = Bₖ / √(-Δ) 视为加权 L^p 空间 L^p_w^γ(R^d) 上的有界算子，其中 0 < γ < d。
• 应用 Muckenhoupt A_p 权类理论，证明 Riesz 变换和极大函数在 L^p_w^γ(R^d) 上的有界性。
• 使用 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式和 Hölder 不等式，控制加权 L^p 空间中非线性项 uiuj 的行为。
• 构造 ∇q - ∇p 的光滑化版本 Aα,β,t，并证明其为调和函数且衰减足够快，从而恒为零，由此推出 ∇q = ∇p 几乎处处成立。
• 证明解空间 L^σ_w^{σγ}(R^d) + L^2_w^γ(R^d) 不包含非平凡多项式，从而迫使光滑化差值恒为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 R^d（d=2,3）上的不可压缩 Navier-Stokes 方程中，压力梯度能否通过非线性项和外力项的 Riesz 变换直接表示？
• RQ2 对速度和外力施加何种加权 L^p 和 L^2 条件，可确保压力梯度的 Riesz 变换公式的有效性？
• RQ3 与使用基本解卷积相比，Riesz 变换在分析压力项方面有何简化作用？
• RQ4 在权重参数 γ 满足何种条件下，Riesz 变换公式对 ∇p 在加权 L^p 空间中是良定义且有界的？
• RQ5 能否通过 Riesz 变换实现的压力重构，推导出在加权 L² 空间中解的先验估计？

主要发现

• 在所述条件下，对于 d ∈ {2,3}，有 ∇p = ∇∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj - Fi,j)。
• Riesz 变换 Rᵢ 和 Rⱼ 在 L^p_w^γ(R^d) 上为有界算子，其中 0 < γ < d 且 1 < p < ∞。
• 项 ∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj) 属于 L^a(0,T; L^r_w^{rγ}(R^d))，其中 2/a + d/r = d 且 r < d/γ。
• 在相同假设下，项 ∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(Fi,j) 属于 L^2(0,T; L^2_w^γ(R^d))。
• 压力梯度的光滑化差值 Aα,β,t 恒为零，从而证明 ∇q = ∇p 几乎处处成立。
• 空间 L^σ_w^{σγ}(R^d) + L^2_w^γ(R^d) 不包含非平凡多项式，这迫使调和光滑化差值为零。