[论文解读] On the value-distribution of the Riemann zeta-function on the critical line

Justas Kalpokas, Jörn Steuding|ArXiv.org|Jul 10, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用 30

一句话总结

本文研究了临界线 ℂ(1/2 + it) 上黎曼ζ-函数的取值分布，证明在黎曼猜想成立的条件下，其实部的平均值恰好为 1。无条件地，本文通过分析ζ-函数与过原点的射线的交点的渐近性质以及这些点上ζ-值的矩估计，表明ζ-函数在临界线上可取任意大的实数值。

ABSTRACT

We investigate the intersections of the curve $\mathbb{R} i t\mapsto ζ({1\over 2}+it)$ with the real axis. We show that if the Riemann hypothesis is true, the mean-value of those real values exists and is equal to 1. Moreover, we show unconditionally that the zeta-function takes arbitrarily large real values on the critical line.

研究动机与目标

• 分析ζ(1/2 + it)在临界线上取实数值的分布。
• 在黎曼猜想下，确立ζ(1/2 + it)在实轴交点上的平均值的存在性及其数值。
• 无条件地证明ζ(1/2 + it)可取任意大的实数值。
• 推导ζ(1/2 + it)在位于固定射线 e^{iϕ}ℝ 上的点处的一阶和二阶离散矩的渐近公式。
• 通过研究与过原点的直线的交点，为ζ(1/2 + it)在ℂ中稠密的猜想提供证据。

提出的方法

• 定义 Φ(t; φ) = ζ(1/2 + it) − e^{2iϕ}ζ(1/2 − it)，其零点对应于ζ(1/2 + it)位于射线 e^{iϕ}ℝ 上的点。
• 利用函数方程及Δ(s) = 2^s π^{s−1} Γ(1−s) sin(πs/2)的性质，推导对称性与归一化性质。
• 建立N_ϕ^Δ(T)的渐近公式，即满足Δ(1/2 + it) = e^{2iϕ}的t ∈ (0,T]的个数，其渐近增长为 (T/2π) log(T/2πe) + O(log T)。
• 利用复分析与矩估计，推导ζ(1/2 + it)在位于e^{iϕ}ℝ上的点处的一阶与二阶离散矩的渐近表达式。
• 对离散矩应用柯西-施瓦茨不等式，推导出 Hardy Z-函数四阶矩的下界。
• 利用Gram点与ζ(1/2 + it)的辐角之间的联系，将结果与已知的Z(t_n)及其矩的结果关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼猜想下，ζ(1/2 + it)在实数值（即ζ(1/2 + it) ∈ ℝ）上的平均值是否存在？若存在，其值是多少？
• RQ2 能否无条件地证明存在实数t使得ζ(1/2 + it)取任意大的实数值？
• RQ3 ζ(1/2 + it)位于固定射线e^{iϕ}ℝ上的点t ∈ (0,T]的数量的渐近行为如何？
• RQ4 在这些点上，ζ(1/2 + it)的一阶与二阶离散矩的渐近公式是什么？
• RQ5 Hardy Z-函数的矩与ζ(1/2 + it)在临界线上的取值分布有何关系？

主要发现

• 在黎曼猜想下，ζ(1/2 + it)在实数值上的平均值恰好为 1。
• 无条件地，ζ-函数在临界线上可取任意大的实数值。
• 满足ζ(1/2 + it) ∈ e^{iϕ}ℝ的点t ∈ (0,T]的个数渐近为 (T/2π) log(T/2πe) + O(log T)。
• ζ(1/2 + it)在实数值上的第一阶离散矩渐近为 2e^{iϕ}cosϕ · (T/2π) log(T/2πe) + O(T^{1/2+ε})。
• 当φ = 0时，ζ(1/2 + it)在实数值上的第二阶离散矩渐近为 (1/2) · (T/2π) log(T/2πe) + O(T^{1/2+ε})。
• 建立了Hardy Z-函数四次方和的下界：∑_{n≤N} Z(t_n)^4 ≥ (1+o(1))N(log N)^2。