[论文解读] On the vanishing of Selmer groups for elliptic curves over ring class fields

Matteo Longo, Stefano Vigni|ArXiv.org|Jun 26, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

该论文证明，对于定义在 $\mathbb{Q}$ 上且无复乘的椭圆曲线 $E$，若其 twisted $L$-值 $L_K(E,\chi,1) \neq 0$，则在适当的 $p$-进完备化 $\mathcal{W}$ 下进行 $\chi$-扭变后，$E$ 在阶类域 $H_c$ 上的 $p$-Selmer 群在非典型素数 $p$ 情况下也消失。该结果将 Bertolini 和 Darmon 的先前工作推广至非典型素数，并为解析秩零情形下的 $\chi$-扭变 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想提供了新的代数证明。

ABSTRACT

Let E be a rational elliptic curve of conductor N without complex multiplication and let K be an imaginary quadratic field of discriminant D prime to N. Assume that the number of primes dividing N and inert in K is odd, and let H be the ring class field of K of conductor c prime to ND with Galois group G over K. Fix a complex character χof G. Our main result is that if the special value of the χ-twisted L-function of E/K is non-zero then the tensor product (with respect to χ) of the p-Selmer group of E/H with W over Z[G] is 0 for all but finitely many primes p, where W is a suitable finite extension of Z_p containing the values of χ. Our work extends results of Bertolini and Darmon to almost all non-ordinary primes p and also offers alternative proofs of a χ-twisted version of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for E over H (Bertolini and Darmon) and of the vanishing of the p-Selmer group of E/K for almost all p (Kolyvagin) in the case of analytic rank zero.

研究动机与目标

• 将椭圆曲线在阶类域上 $p$-Selmer 群的消失性结果推广至非典型素数 $p$。
• 为解析秩零情形下的 $\chi$-扭变 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想提供另一种代数证明。
• 利用 $L$-值非零性，将 Kolyvagin 关于 $\mathrm{Sel}_p(E/K) = 0$ 对几乎所有 $p$ 成立的结果加以推广。
• 通过平坦上同调控制在奇异素数处的局部 Selmer 群，从而处理非典型情形。

提出的方法

• 利用类域论将伽罗瓦群 $G_c = \mathrm{Gal}(H_c/K)$ 与阶 $\mathcal{O}_c$（导子为 $c$）的类群 $\mathrm{Pic}(\mathcal{O}_c)$ 识别起来。
• 通过与 $\mathcal{W}$（即 $\mathbb{Z}[\chi]$ 的 $p$-进完备化）的张量积，对 $p$-Selmer 群 $\mathrm{Sel}_p(E/H_c)$ 实施 $\chi$-扭变。
• 利用平坦上同调群控制在良好约化素数处局部 Kummer 映射的像，尤其在奇异情形下。
• 依赖于 $L_K(f,\chi,s)$ 的函数方程符号为 $+1$，这是由于 $N^-$ 的奇数个分裂素数整除所致。
• 应用受 Knospe 和 Darmon-Iovita 启发的 Iwasawa 理论技术，以处理非典型 $p$。
• 通过将 $E(H_c) \otimes \mathbb{C}$ 分解为 $\chi$-特征空间，推导出 $E(H_c)^\chi$ 的消失性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于非典型素数 $p$，$\mathrm{Sel}_p(E/H_c)$ 经 $\chi$-扭变后消失？
• RQ2 当 $L_K(E,\chi,1) \neq 0$ 时，能否代数地证明 $\chi$-扭变 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想？
• RQ3 是否对所有除有限多个外的 $p$，包括奇异素数，均有 $\mathrm{Sel}_p(E/H_c) \otimes_\chi \mathcal{W} = 0$ 成立？
• RQ4 如何通过代数方法控制奇异素数处的局部 Selmer 群，以将结果推广至非典型约化情形？

主要发现

• 若 $L_K(E,\chi,1) \neq 0$，则对所有除有限多个素数外的 $p$，有 $\mathrm{Sel}_p(E/H_c) \otimes_\chi \mathcal{W} = 0$。
• 在相同条件下，$\chi$-扭变的 Shafarevich–Tate 群 $\mbox{\cyr{X}}_p(E/H_c) \otimes_\chi \mathcal{W}$ 同样消失。
• 由于纯粹的代数张量积论证，该消失性对所有 $p^n$（$n \geq 1$）成立，而不仅限于 $p$ 本身。
• 该结果包含了无穷多个非典型素数 $p$，包括奇异素数，而这些情形在 Bertolini 和 Darmon 的早期工作中被排除。
• 当 $L_K(E,\chi,1) \neq 0$ 时，Mordell–Weil 群 $E(H_c)^\chi$ 消失，这恢复了 Bertolini 和 Darmon 的一个结果。
• 证明中利用平坦上同调控制 $p$-进位置处的局部 Kummer 映射，从而使得非典型 $p$ 的情形得以处理。