[论文解读] On the VC-dimension of convex sets and half-spaces.

Nicolas Grelier, Saeed Ilchi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文研究了在几何设置下由凸集和半空间定义的超图的VC维。研究结果表明，平面上成对不相交的凸集的VC维恰好为3，而一般凸集以及R^d（d ≥ 3）中成对不相交的凸集的VC维是无界的。对于平面上的线段，VC维至多为5，且该上界是紧致的。

ABSTRACT

A family $S$ of convex sets in the plane defines a hypergraph $H = (S,E)$ as follows. Every subfamily $S'\\subset S$ defines a hyperedge of $H$ if and only if there exists a halfspace $h$ that fully contains $S'$, and no other set of $S$ is fully contained in $h$. In this case, we say that $h$ realizes $S'$. We say a set $S$ is shattered, if all its subsets are realized. The VC-dimension of a hypergraph $H$ is the size of the largest shattered set. We show that the VC-dimension for \\emph{pairwise disjoint} convex sets in the plane is bounded by $3$, and this is tight. In contrast, we show the VC-dimension of convex sets in the plane (not necessarily disjoint) is unbounded. We also show that the VC-dimension is unbounded for pairwise disjoint convex sets in $\\mathbb{R}^d$, for $d\\geq 3$. We focus on, possibly intersecting, segments in the plane and determine that the VC-dimension is always at most $5$. And this is tight, as we construct a set of five segments that can be shattered. We give two exemplary applications. One for a geometric set cover problem and one for a range-query data structure problem, to motivate our findings.

研究动机与目标

• 确定由几何排列中凸集和半空间诱导的超图的VC维。
• 分析几何约束（如不相交性和维度）如何影响凸集族的VC维。
• 为特定几何对象（尤其是平面上的线段）建立VC维的紧致上界。
• 通过在几何集合覆盖和范围查询数据结构中的应用，展示这些理论上界的实际相关性。

提出的方法

• 定义一个超图 H = (S, E)，其中超边对应于由单个半空间 h 实现的子族 S' ⊆ S。
• 利用几何分离和包含关系来刻画凸集子集被破碎的条件。
• 应用组合几何和对偶性技术，分析R²和R^d中通过半空间实现的可实现性。
• 通过构造五个可被破碎的线段，证明VC维上界5的紧致性。
• 通过高维中凸集的递归构造证明VC维无界性。
• 利用凸集及其交集的结构，来限制子集的破碎能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面上成对不相交凸集的VC维是多少？
• RQ2 一般（可能相交）凸集在平面上的VC维行为如何？
• RQ3 R^d（d ≥ 3）中成对不相交凸集的VC维是多少？
• RQ4 平面上线段的VC维是多少？该上界是否紧致？
• RQ5 这些VC维上界如何应用于实际几何问题？

主要发现

• 平面上成对不相交凸集的VC维恰好为3，且该上界是紧致的。
• 平面上一般凸集的VC维是无界的，即使不要求集合之间不相交。
• R^d（d ≥ 3）中成对不相交凸集的VC维也是无界的。
• 对于平面上的线段，VC维至多为5，且该上界是紧致的，因为提供了五个可被破碎的线段的构造。
• VC维的理论边界被应用于几何集合覆盖问题和范围查询数据结构问题，展示了其实际相关性。
• 研究结果基于几何约束（如不相交性、维度和对象类型，例如线段与一般凸集）的差异，建立了VC维行为的清晰区分。