[论文解读] On the Vertex-Degree-Function Indices of Connected (n,m)-Graphs of Maximum Degree at Most Four

Abeer M. Albalahi, Igor Milovanović+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2022

Graph theory and applications被引用 5

一句话总结

该论文针对最大度至多为四的连通$(n,m)$-图，基于度分布约束，建立了顶点度函数指数$ H_f(G) $的精确上下界。关键贡献是一个统一框架，根据$ n $、$ m $以及$ 2m - n $模3的余数，推导出紧致边界，且等式成立条件由度为2和3的顶点数及度集完全刻画。

ABSTRACT

Consider a graph $G$ and a real-valued function $f$ defined on the degree set of $G$. The sum of the outputs $f(d_v)$ over all vertices $v\in V(G)$ of $G$ is usually known as the vertex-degree-function indices and is denoted by $H_f(G)$, where $d_v$ represents the degree of a vertex $v$ of $G$. This paper gives sharp bounds on the index $H_f(G)$ in terms of order and size of $G$ when $G$ is connected and has the maximum degree at most $4$. All the graphs achieving the derived bounds are also determined. Bounds involving several existing indices - including the general zeroth-order Randić index and coindex, the general multiplicative first/second Zagreb index, the variable sum lodeg index, and the variable sum exdeg index - are deduced as the special cases of the obtained ones.

研究动机与目标

• 推导最大度至多为四的连通$(n,m)$-图中顶点度函数指数$ H_f(G) $的精确边界。
• 根据其度集和度为2、3的顶点数，刻画所有达到这些边界的图。
• 在一个统一的分析框架内，统一并推广现有的拓扑指数，如广义零阶Randić指数、遗忘共指数和可变和指数。
• 在函数$ f $的不同条件下，确定实现所推导边界的极值结构（以度集为基准）。

提出的方法

• 利用恒等式$ H_f(G) = \sum_{i=1}^4 n_i f(i) $，将$ H_f(G) $表示为顶点数$ n_1, n_2, n_3, n_4 $的线性组合。
• 利用约束条件$ \sum_{i=1}^4 n_i = n $和$ \sum_{i=1}^4 i n_i = 2m $，消去$ n_1 $和$ n_4 $，将$ H_f(G) $简化为$ n, m, n_2, n_3 $的函数。
• 定义$ \Gamma_f(G) $为包含$ n_2 $和$ n_3 $的余项，其系数为$ \xi_1 = f(2) - \frac{2}{3}f(1) - \frac{1}{3}f(4) $和$ \xi_2 = f(3) - \frac{1}{3}f(1) - \frac{2}{3}f(4) $。
• 基于$ \xi_1 $和$ \xi_2 $的符号及其相对大小，建立$ \Gamma_f(G) $的极值边界，尤其在条件$ 2\xi_2 < \xi_1 < \xi_2/2 $或$ \xi_2/2 < \xi_1 < 2\xi_2 $下。
• 通过将$ n $和$ m $的线性部分与依赖于$ 2m - n \mod 3 $的$ \Gamma_f(G) $的极值相结合，推导出$ H_f(G) $的边界。
• 应用恒等式$ TI(G) + \overline{TI}(G) = (n-1)H_f(G) $，将$ H_f(G) $的边界转化为指数与其共指数之和的边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最大度至多为四的连通$(n,m)$-图中，顶点度函数指数$ H_f(G) $的精确上下界是什么？
• RQ2 实现这些边界的极值图如何依赖于函数$ f $、阶$ n $、大小$ m $以及$ 2m - n \mod 3 $的值？
• RQ3 哪些已知的拓扑指数（如广义零阶Randić指数、遗忘共指数、可变和指数）是$ H_f(G) $的特例，且其边界如何由该通用框架导出？
• RQ4 在何种$ f $的条件下，极值图的度集为$ \{1,2,4\} $、$ \{1,3,4\} $或$ \{1,4\} $，这又如何由$ \xi_1 $和$ \xi_2 $决定？
• RQ5 恒等式$ TI(G) + \overline{TI}(G) = (n-1)H_f(G) $如何促进对指数与其共指数之和的边界推导？

主要发现

• 推导出$ H_f(G) $的精确边界为$ \frac{1}{3}(4f(1) - f(4))n + \frac{2}{3}(f(4) - f(1))m + \Gamma_f(G) $，其中$ \Gamma_f(G) $依赖于$ n_2 $和$ n_3 $，其极值由系数$ \xi_1 $和$ \xi_2 $的符号与比值决定。
• 当$ 2m - n \equiv 1 \pmod{3} $时，$ \Gamma_f(G) $的极值为$ \xi_1 $（若$ \xi_1 < 0 $）或$ \xi_1 $（若$ \xi_1 > 0 $），具体取决于$ \xi_1 $和$ \xi_2 $的符号条件。
• 当$ 2m - n \equiv 2 \pmod{3} $时，$ \Gamma_f(G) $的极值为$ \xi_2 $，在相同的符号与比值条件下成立。
• 当$ 2m - n \equiv 0 \pmod{3} $时，$ \Gamma_f(G) $的极值为零，对应于仅含度为1和4的图。
• 当$ f(x) = x^2 $时，遗忘拓扑共指数$ \overline{F}(G) $满足$ \overline{F}(G) \leq 2(m(5n-26) - n(2n-11) + 8) $，若$ 2m - n \equiv 1 \pmod{3} $，且等号成立当且仅当度集为$ \{1,2,4\} $且$ G $恰好有一个度为2的顶点。
• 当$ f(x) = \ln x^a $时，广义乘法第一Zagreb指数的自然对数满足$ \Pi_{1,a}(G) \leq 2^{\frac{a(4m - 2n + 1)}{3}} $，当$ 2m - n \equiv 1 \pmod{3} $时成立，且等号成立当且仅当度集为$ \{1,2,4\} $且$ G $恰好有一个度为2的顶点。