[论文解读] On the Viscous Camassa-Holm Equations with Fractional Diffusion

Zaihui Gan, Fanghua Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文在二维和三维空间中建立了带有分数阶扩散的黏性Camassa-Holm方程的全局适定性与瞬时正则性增益，证明了初始数据属于 $ D(A) $ 时，解在 $ C_{[0,+rown{ ext{infty}})}(D(A)) \cap L^{2}_{[0,+rown{ ext{infty}}),loc}(D(A^{1+s/2})) $ 中的存在性与唯一性，其中分数阶阶数 $ s \in [n/4,1) $，$ n=2,3 $。关键结果是临界情形 $ (n,s)=(2,1/2) $ 下正则性的改进，包括时间与空间的Hölder连续性估计。

ABSTRACT

We study Cauchy problem of a class of viscous Camassa-Holm equations (or Lagrangian averaged Navier-Stokes equations) with fractional diffusion in both smooth bounded domains and in the whole space in two and three dimensions. Order of the fractional diffusion is assumed to be $2s$ with $s\in [n/4,1)$, which seems to be sharp for the validity of the main results of the paper; here $n=2,3$ is the dimension of space. We prove global well-posedness in $C_{[0,+\infty)}(D(A))\cap L^2_{[0,+\infty),loc}(D(A^{1+s/2}))$ whenever the initial data $u_0\in D(A)$, where $A$ is the Stokes operator. We also prove that such global solutions gain regularity instantaneously after the initial time. A bound on a higher-order spatial norm is also obtained.

研究动机与目标

• 在二维和三维空间中，针对有界区域与整个空间，建立带有分数阶扩散的黏性Camassa-Holm方程的全局适定性。
• 确定全局解存在并获得正则性的分数阶扩散阶数 $ s \in [n/4,1) $ 的最优范围。
• 证明即使在临界情形 $ (n,s)=(2,1/2) $ 下，全局解在 $ t>0 $ 时也能立即获得正则性。
• 推导解的高阶空间范数与时间-空间正则性之Hölder型估计的定量界。
• 将经典Navier-Stokes型方程的结果推广至Camassa-Holm框架下的非局部扩散设定。

提出的方法

• 通过斯托克斯算子 $ A = \mathcal{P}(-\Delta) $ 的谱分解，定义分数阶斯托克斯算子 $ A^s $，其中 $ s \in [n/4,1) $，以模拟非局部黏性效应。
• 利用能量估计与分数阶演化方程理论，控制非线性项 $ f(u,u) = u \cdot \nabla (1 - \alpha^2 \Delta)u - \alpha^2 \nabla u^T \cdot \Delta u $ 在 $ L^2_T(D(A^{1-s/2})) $ 中的大小。
• 应用分数阶半群 $ e^{-t\nu A^s} $，在通过时间Hölder连续性定义的合适函数空间 $ B $ 中，通过Banach压缩映射原理构造不动点论证。
• 在空间 $ L^\infty_T(D(A)) \cap L^2_T(D(A^{1+s/2})) $ 中建立解及其增量的先验估计，利用非线性算子有界的性质。
• 利用分数阶半群推导时间正则性估计，尤其在临界情形 $ (n,s) = (2,1/2) $ 下，此时标准交换子估计不再充分。
• 将压缩映射论证与定理3.1的全局存在性结果结合，证明解在 $ t=0 $ 之后立即获得正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维与三维空间中，黏性Camassa-Holm方程在 $ s $ 阶扩散下全局适定性的最优分数阶扩散阶数 $ s \in [n/4,1) $ 是什么？
• RQ2 即使在临界情形 $ s = n/4 $ 下，分数阶黏性Camassa-Holm方程的全局解是否能在 $ t>0 $ 时立即获得正则性？
• RQ3 能否对高阶空间范数 $ \|A^{s/2}u(t)\|_{D(A)} $ 与解的时间Hölder连续性建立定量界？
• RQ4 解的正则性如何依赖于初始数据 $ u_0 \in D(A) $？能否通过时间加权估计对其进行量化？
• RQ5 临界情形 $ (n,s)=(2,1/2) $ 下的改进正则性结果，能否在非局部扩散下推广至更高阶正则性或边界正则性？

主要发现

• 对于初始数据 $ u_0 \in D(A) $，$ s \in [n/4,1) $，$ n=2,3 $，在 $ C_{[0,+rown{ ext{infty}})}(D(A)) \cap L^{2}_{[0,+rown{ ext{infty}}),loc}(D(A^{1+s/2})) $ 中建立了全局适定性，通过能量法证明了该范围的最优性。
• 解具有瞬时正则性：对所有 $ t>0 $，有 $ u(t) \in D(A^{1+s/2}) $，且在临界情形 $ (n,s)=(2,1/2) $ 下满足 $ \|u(t)\|_{D(A^{1+s/2})} \leq C \|u_0\|_{D(A)} t^{-1/2} $。
• 对于 $ (n,s)=(2,1/2) $，解满足时间Hölder连续性：对所有 $ h \in [0,1] $，$ \beta \in (0,1) $，有 $ \|u(t+h)-u(t)\|_{D(A)} \leq C h^\beta (1+t^{-\beta}) \|u_0\|_{D(A)} $。
• 解满足估计式 $ \|A^{s/2}(u(t+h)-u(t))\|_{D(A)} \leq C h^\beta (1+t^{-(\beta+1/2)}) \|u_0\|_{D(A)} $，表明在分数阶导数空间中正则性得到改善。
• 解属于局部 Hölder 空间 $ C^\beta_{loc}((0,T]; D(A^{1+s/2})) $，其范数受控于 $ C_7 M^2 $，其中 $ M = \|u_0\|_{D(A)} $。
• 通过半群 $ e^{-t\nu A^s} $ 与在半径为 $ M $ 的球内进行的压缩映射，迭代格式收敛，从而证明了全局解 $ u_* $ 的存在性与唯一性。