[论文解读] On the volume functional of compact manifolds with boundary with harmonic Weyl tensor

H. Baltazar, R. Batista+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文对具有边界且Weyl张量为调和的紧致黎曼流形上的体积泛函临界度量进行分类，证明了在单连通流形且边界等距于标准球面的情形下，此类度量必等距于单连通空间形式中的测地球。关键贡献在于建立了Miao-Tam临界度量下Bach平坦性与调和Weyl张量之间的等价性，从而将此前在局部共形平坦情形下的结果推广至更一般的调和Weyl张量情形。

ABSTRACT

One of the main aims of this article is to give the complete classification of critical metrics of the volume functional on a compact manifold $M$ with boundary $\partial M$ and with harmonic Weyl tensor, which improves the corresponding classification for complete locally conformally flat case, due to Miao and Tam [18]. In particular, we prove that a critical metric with harmonic Weyl tensor on a simply connected compact manifold with boundary isometric to a standard sphere $\mathbb{S}^{n-1}$ must be isometric to a geodesic ball in a simply connected space form $\Bbb{R}^n,$ $\Bbb{H}^n$ and $\Bbb{S}^n.$ In order to achieve our goal, firstly we shall conclude the classification of such critical metrics under the Bach-flat assumption and then we will prove that both geometric conditions are indeed equivalent.

研究动机与目标

• 在Weyl张量为调和的条件下，对具有边界的紧致流形上体积泛函的临界度量进行分类。
• 将Miao与Tam在局部共形平坦情形下的分类结果推广至更广泛的调和Weyl张量设定。
• 证明对于Miao-Tam临界度量，Bach平坦性与调和Weyl张量是等价条件。
• 证明若一个单连通、紧致的Miao-Tam临界度量的边界等距于标准球面，则其必等距于单连通空间形式中的测地球。
• 在调和Weyl张量条件下，建立此类临界度量的完整分类。

提出的方法

• 作者首先在Bach平坦假设下，利用几何分析与散度恒等式对Miao-Tam临界度量进行分类。
• 通过分析涉及Weyl张量与定义函数f的梯度的张量场的散度，证明具有调和Weyl张量的Miao-Tam临界度量必为Bach平坦。
• 证明依赖于在边界附近构造一个邻域Vε，使得f在此区域为零，并证明Weyl张量与Ricci曲率的收缩在此区域消失。
• 利用Stokes定理与散度恒等式，推导出Weyl张量分量Wν在Vε上范数为零，并通过实解析性，得出其在整个流形上恒为零。
• 应用涉及Tijk与Weyl张量的张量恒等式，得出张量T恒为零，从而推出流形为Bach平坦。
• 通过Weyl张量在常数标量曲率下的结构及Cotton张量的消失，建立调和Weyl张量与Bach平坦性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有边界的紧致流形上的Miao-Tam临界度量等距于空间形式中的测地球？
• RQ2 对于Miao-Tam临界度量，调和Weyl张量条件是否与Bach平坦性等价？
• RQ3 能否将局部共形平坦情形下临界度量的分类结果推广至调和Weyl张量设定？
• RQ4 在调和Weyl张量条件下，单连通紧致Miao-Tam临界度量且边界等距于S^{n-1}的几何结构为何？
• RQ5 在边界邻域内Weyl张量分量Wν的消失是否意味着Weyl张量在整个流形上恒为零？

主要发现

• 在单连通紧致流形上，若边界等距于S^{n-1}且具有调和Weyl张量的Miao-Tam临界度量，则其等距于单连通空间形式R^n、H^n或S^n中的测地球。
• 调和Weyl张量条件蕴含流形为Bach平坦，反之亦然，从而在Miao-Tam临界度量下建立了调和Weyl张量与Bach平坦性之间的等价性。
• Weyl张量分量Wν在边界邻域内恒为零，且由实解析性，其在整个流形上恒为零。
• 涉及|Wν|²与∇f的散度恒等式导出|Wν|²在流形上恒为零，意味着Weyl张量在∇f方向上消失。
• 张量Tijk恒为零，这意味着流形为Bach平坦，从而完成等价性证明。
• 该分类结果扩展了先前在局部共形平坦情形下的结果，提供了在调和Weyl张量条件下的完整分类。