[论文解读] On the Waring rank of binary forms: The binomial formula and a dihedral cover of rank two forms

Laura Brustenga i Moncusí, Shreedevi K. Masuti|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文利用西尔维斯特算法和对偶性理论，为复数域上二元二项式给出了 Waring 秩的显式公式，并证明了在标量乘法下，恰好存在 $inom{d-1}{2}$ 个 d 次二元形式具有 Waring 秩为二且是三个固定互异一次型的倍式。该结果通过二面体覆盖构造及对 secant 簇的几何论证得以确立。

ABSTRACT

Waring problem for forms is important and classical in mathematics. It has been widely investigated because of its wide applications in several areas. In this paper, we consider the Waring problem for binary forms with complex coefficients. Firstly, we give an explicit formula for the Waring rank of any binary binomial and several examples to illustrating it. Secondly, we prove that, up to scalar multiplication, there are exactly $\binom{d-1}{2}$ binary forms of degree $d$ with Waring rank two and multiple of three fixed distinct linear forms.

研究动机与目标

• 通过西尔维斯特算法和对偶性理论，推导出 ℂ[x,y] 中任意二元二项式的 Waring 秩的显式公式。
• 在标量乘法下，对所有被三个固定互异一次型整除的 d 次二元形式中 Waring 秩为二的形式进行分类。
• 构造此类秩二形式的集合的二面体覆盖，并分析其在二面体群作用下的轨道结构。
• 将这些形式的几何结构与有理正常曲线的 secant 簇联系起来，并应用贝祖定理进行横截相交论证。
• 利用所构造的覆盖，探讨实二元形式在 Waring 秩与实 Waring 秩之间的最大可能差距。

提出的方法

• 通过识别二元二项式 $F$ 的对偶理想 $F^\perp$ 中的最小次数形式，应用西尔维斯特算法，避免完全计算该理想。
• 利用商环 $T/F^\perp$ 的 Hilbert 函数，验证所找到的形式是 $F^\perp$ 中次数最小的，从而确定 Waring 秩。
• 利用根的对称性，构造被三个固定一次型 $l_1,l_2,l_3$ 整除的秩二形式集合的二面体覆盖。
• 证明在二面体群作用下，该覆盖的轨道数恰好为 $\binom{d-1}{2}$，从而确立此类形式的数量。
• 使用 Teracini 引理参数化有理正常曲线的第二 secant 簇 $\overline{\Sigma}$ 的切空间。
• 将可被 $l_1l_2l_3$ 整除的形式的线性子空间与 $\overline{\Sigma}$ 的横截相交，应用贝祖定理，通过经典代数几何方法确认计数结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℂ[x,y] 中任意二元二项式的显式 Waring 秩是什么？
• RQ2 在标量乘法下，有多少个 d 次二元形式具有 Waring 秩为二且被三个固定互异一次型整除？
• RQ3 被三个固定互异一次型整除的秩二形式的集合的几何结构是怎样的？对称性如何作用于该集合？
• RQ4 该二面体覆盖与 ℙS_d 中有理正常曲线的 secant 簇有何关系？
• RQ5 实二元形式在 d 次时，Waring 秩与实 Waring 秩之间的最大可能差距是多少？

主要发现

• ℂ[x,y] 中任意二元二项式的 Waring 秩由西尔维斯特算法和对偶性理论导出的显式公式给出。
• 在标量乘法下，恰好存在 $\binom{d-1}{2}$ 个 d 次二元形式具有 Waring 秩为二且是三个固定互异一次型的倍式。
• 此类秩二形式集合的二面体覆盖在二面体群作用下恰好有 $\binom{d-1}{2}$ 个不同的轨道。
• 可被 $l_1l_2l_3$ 整除的形式线性子空间与有理正常曲线的第二 secant 簇 $\overline{\Sigma}$ 的交为横截，且其度为 $\binom{d-1}{2}$，通过贝祖定理确认了计数结果。
• 所构造的二面体覆盖提供了一个几何框架，可用于描述所有实二元形式中 Waring 秩与实 Waring 秩差距最大的情形。
• 通过经典代数几何方法，再次证明了计数结果：codimension 为三的线性子空间与 $\overline{\Sigma}$ 横截相交，通过贝祖定理得到相同的计数结果。