[论文解读] On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field

V. V. Kisel, Е. М. Ovsiyuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文利用四维标架协变方法，基于达芬-凯默-佩蒂奥（DKP）形式体系，研究了在库仑势场中自旋-1粒子的相对论量子行为。通过威格纳函数实现变量分离，将10分量径向系统分解为两个宇称分解的子系统：一个4方程系统等价于标量粒子情形，另一个6方程系统导出一个合流广义超几何方程（即能量谱方程）和一个尚未求解的复杂数学方程。

ABSTRACT

Quantum-mechanical system -- spin 1 particle in external Coulomb field is studied on the base of the matrix Duffin-Kemmer-Petiau formalism with the use of the tetrad technique. Separation of the variables is performed with the help of Wigner functions. With the help of parity operator, the radial 10-equation system is divided into two subsystem of 4 and 6 equations that correspond to parity P=(-1)^{j+1} and P= (-1)^{j} respectively. The system of 4 equation is reduced to a second order differential equation which coincides with that arising in the case of a scalar particle in Coulomb potential. It is shown that the 6-equation system reduces to two different second order differential equations for a "main" function. One main equation reduces to a confluent Heun equation and provides us with energy spectrum. Another main equation is a more complex one, and any solutions for it are not constructed.

研究动机与目标

• 利用矩阵达芬-凯默-佩蒂奥（DKP）形式体系分析外在库仑势场中自旋-1粒子的相对论动力学。
• 应用四维标架技术实现一般协变性，并简化球坐标系下的径向方程。
• 利用威格纳函数实现变量分离，并根据宇称量子数对解进行分类。
• 推导自旋-1系统的能量谱，并与标量及自旋-1/2情形进行比较。
• 研究非相对论极限，并以超几何函数形式构造线性无关的解。

提出的方法

• 采用对角球坐标四维标架的达芬-凯默-佩蒂奥（DKP）形式体系，描述自旋-1粒子在库仑场中的行为。
• 应用威格纳函数 $ D^{j}_{-m au}( heta, heta,0) $，其中 $ au = -1,0,+1 $，实现角向与径向变量的分离。
• 引入宇称算符 $ ilde{\Pi} $，将10分量径向系统分解为两个子系统：一个宇称为 $ P = (-1)^{j+1} $（4个方程），另一个为 $ P = (-1)^j $（6个方程）。
• 将4方程子系统约化为与库仑势场中标量粒子相同的二阶微分方程。
• 将6方程子系统转化为关于一个‘主函数’的两个二阶方程，其中一个约化为合流广义超几何方程，另一个仍保持未解状态。
• 通过变量替换 $ x = 2\sqrt{-2\epsilon M}\,r $ 和合流超几何函数的待定解法，求解广义超几何型方程并推导能量谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 当采用基于四维标架的协变形式时，DKP形式体系如何描述自旋-1粒子在库仑势场中的行为？
• RQ2 利用威格纳函数实现变量分离后，径向系统的结构是怎样的？
• RQ3 宇称量子数 $ P = (-1)^j $ 与 $ P = (-1)^{j+1} $ 如何对DKP系统的解进行分类？
• RQ4 6方程子系统能否约化为可解的微分方程？若是，哪些方程能提供能量谱？
• RQ5 解的非相对论极限是什么？它们如何用特殊函数表示？

主要发现

• 宇称 $ P = (-1)^{j+1} $ 的4方程子系统约化为与库仑势场中标量粒子相同的二阶微分方程。
• 宇称 $ P = (-1)^j $ 的6方程子系统中，一个方程可约化为合流广义超几何方程，该方程提供了能量谱。
• 能量谱表达为 $ \epsilon = -\frac{me^4}{2\hbar^2(1 + \nu + n)^2} $，其中 $ \nu = \sqrt{j(j+1)} $，与氢原子谱一致，主量子数为 $ n' = 1 + \nu + n $。
• 6方程系统中的第二个方程仍为解析上未解的复杂方程，未构造其解。
• 在非相对论极限下，利用超几何函数构造了三个线性无关的解。
• 该方法成功地将DKP系统分解为物理上有意义的宇称子空间，并识别出主导的谱方程。