[论文解读] On the weight distributions of several classes of cyclic codes from APN monomials

Chunlei Li, Nian Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文提出了一种统一框架，利用几乎完美非线性（APN）单项式在 $fi{F}_p$ 上构造三权重循环码，通过指数和分析确定其权重分布。当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，完全确定了指数和 $T(a,b)$ 与 $S(a,b,c)$ 的取值分布，从而实现了对循环码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 的精确权重计数。该方法在 $p=3$ 且 $e$ 为偶数时，用于证明其对偶码的最小距离达到最优值 5。

ABSTRACT

Let $m\geq 3$ be an odd integer and $p$ be an odd prime. % with $p-1=2^rh$, where $h$ is an odd integer. In this paper, many classes of three-weight cyclic codes over $\mathbb{F}_{p}$ are presented via an examination of the condition for the cyclic codes $\mathcal{C}_{(1,d)}$ and $\mathcal{C}_{(1,e)}$, which have parity-check polynomials $m_1(x)m_d(x)$ and $m_1(x)m_e(x)$ respectively, to have the same weight distribution, where $m_i(x)$ is the minimal polynomial of $π^{-i}$ over $\mathbb{F}_{p}$ for a primitive element $π$ of $\mathbb{F}_{p^m}$. %For $p=3$, the duals of five classes of the proposed cyclic codes are optimal in the sense that they meet certain bounds on linear codes. Furthermore, for $p\equiv 3 \pmod{4}$ and positive integers $e$ such that there exist integers $k$ with $\gcd(m,k)=1$ and $τ\in\{0,1,\cdots, m-1\}$ satisfying $(p^k+1)\cdot e\equiv 2 p^τ\pmod{p^m-1}$, the value distributions of the two exponential sums $T(a,b)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e)}$ and $ S(a,b,c)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e+cx^s)}, $ where $s=(p^m-1)/2$, are settled. As an application, the value distribution of $S(a,b,c)$ is utilized to investigate the weight distribution of the cyclic codes $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ with parity-check polynomial $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$. In the case of $p=3$ and even $e$ satisfying the above condition, the duals of the cyclic codes $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ have the optimal minimum distance.

研究动机与目标

• 开发一个通用条件，使得 $\mathbb{F}_p$ 上的循环码 $\mathcal{C}_{(1,e)}$ 恰好具有三个权重。
• 确定当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，指数和 $T(a,b)$ 与 $S(a,b,c)$ 的取值分布，其中 $e$ 满足涉及 $p^k+1$ 与 $p^\tau$ 的特定同余关系。
• 将 $S(a,b,c)$ 的取值分布应用于计算具有校验多项式 $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$ 的循环码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 的权重分布，其中 $s = (p^m - 1)/2$。
• 证明当 $p=3$ 且 $e$ 为偶数并满足同余条件时，对偶码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}^\perp$ 达到最优最小距离 5。
• 推广并统一先前关于三权重循环码的构造方法，表明文献中近期的结果均为本文所提框架的特例。

提出的方法

• 本文利用 $\mathbb{F}_p$ 上 $\pi^{-i}$ 的最小多项式 $m_i(x)$，通过校验多项式 $m_1(x)m_e(x)$ 和 $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$ 分别定义循环码 $\mathcal{C}_{(1,e)}$ 与 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$。
• 通过分析指数 $d$ 与 $e$ 模 $p^m - 1$ 的分圆陪集结构，建立 $\mathcal{C}_{(1,d)}$ 与 $\mathcal{C}_{(1,e)}$ 之间权重分布的等价性。
• 当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，利用有限域上高斯和与特征和的性质，推导出指数和 $T(a,b) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} \omega^{\operatorname{Tr}(ax + b x^e)}$ 的取值分布。
• 通过在 $\mathbb{F}_{p^{2m}}$ 上求解方程组，计算指数和 $S(a,b,c) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} \omega^{\operatorname{Tr}(ax + b x^e + c x^s)}$ 的取值分布，利用条件 $(p^k + 1)e \equiv 2p^\tau \pmod{p^m - 1}$ 且 $\gcd(m,k) = 1$。
• 通过将指数和的解数与码字的汉明权重关联，确定循环码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 的权重分布。
• 证明依赖于在 $\mathbb{F}_{p^{2m}}$ 中对形如 $x^{p^k+1} + y^{p^k+1} = \beta$ 与 $x^{p^m+1} = \pm \alpha^{(p^m-1)/2}$ 的方程的解数进行计数，结合高斯和与特征理论的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $e$、$p$ 与 $m$ 满足何种条件时，$\mathbb{F}_p$ 上的循环码 $\mathcal{C}_{(1,e)}$ 恰好具有三个权重？
• RQ2 当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 且 $s = (p^m - 1)/2$ 时，指数和 $S(a,b,c) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} \omega^{\operatorname{Tr}(ax + b x^e + c x^s)}$ 的精确取值分布为何？
• RQ3 如何利用 $S(a,b,c)$ 的取值分布来计算循环码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 的完整权重分布？
• RQ4 当 $p=3$ 且 $e$ 为偶数并满足 $(p^k + 1)e \equiv 2p^\tau \pmod{p^m - 1}$ 且 $\gcd(2m,k) = 1$ 时，对偶码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}^\perp$ 是否达到最优最小距离 5？
• RQ5 所有文献中已知的来自 APN 单项式的三权重循环码是否均为本文所提通用构造的特例？

主要发现

• 本文证明：当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 且 $e$ 满足 $(p^k + 1)e \equiv 2p^\tau \pmod{p^m - 1}$ 且 $\gcd(m,k) = 1$ 时，指数和 $T(a,b)$ 的取值属于 $\{0, \pm(p+1), \pm 2(p+1)\}$，其精确计数取决于 $a$ 与 $b$。
• $S(a,b,c)$ 的取值分布被完全确定：其取值属于 $\{0, \pm 8(p+1), \pm 4(p+1), \pm 2(p+1), p+1\}$，其中当 $\alpha$ 为非平方且 $\beta \in S_1(\alpha)$ 时取值为 $8(p+1)$，否则为零。
• 方程 $x^{p^k+1} + y^{p^k+1} = \beta$ 的解数为：当 $\beta \in S_1(\alpha)$ 时为 $2(p+1)$，当 $\beta = \alpha^{(p^k+1)/2}$ 时为 $p+1$，由此推出 $|S_1(\alpha)| = (p^m - p)/(2(p+1))$。
• 与 $S(a,b,c)$ 相关的方程组的总解数 $\mathcal{N}_4$ 为 $\mathcal{N}_4 = 2p^{2m} - p^{m+1} - p^m + p$（当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时），该结果由解数计数与特征和分析推导得出。
• 当 $p=3$ 且 $e$ 为偶数并满足同余条件且 $\gcd(2m,k) = 1$ 时，对偶码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}^\perp$ 达到最优最小距离 5，证实其最优性。
• 本文表明，文献中所有已知的来自 APN 单项式的三权重循环码均为本文所提通用构造的特例。