[论文解读] On the Weil representation of infinite-dimensional symplectic group over a finite field

Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文将有限域上无限维辛群的 Weil 表示扩展至线性关系范畴，证明了完美拉格朗日子关系的复合仍为完美拉格朗日子关系。关键贡献在于在 $\varepsilon^2(V^{d}_{\infty})$ 上构造了一个与海森堡群作用相 intertwine 的酉表示，并通过局部紧阿贝尔群中的对偶性与正交性论证，证明该构造在复合下封闭。

ABSTRACT

We extend the Weil representation of infinite-dimensional symplectic group to a representation a certain category of linear relations.

研究动机与目标

• 将有限域上无限维辛群 $\mathrm{Sp}(\mathbb{V}_{2\infty})$ 的 Weil 表示扩展至线性关系范畴的表示。
• 在局部紧阿贝尔群的背景下，刻画完美拉格朗日子关系的结构。
• 证明完美拉格朗日子关系的复合仍为完美拉格朗日子关系，确保复合下的封闭性。
• 在 $\ell^2(V^{d}_{\infty})$ 上建立满足 intertwine 关系 $a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ 的酉表示 $W(g)$。

提出的方法

• 定义无限维辛空间 $\mathbb{V}_{2\mu} = V^{d}_{\mu} \oplus V^{c}_{\mu}$，配备反对称形式 $\{\cdot,\cdot\}$ 及 Pontryagin 对偶性。
• 通过 $\ell^2(V^{d}_{\mu})$ 上的算子 $a(v)$ 构造海森堡群的投影酉表示，满足 $a(v)a(w) = \mathsf{Exp}(\frac{1}{2}\{v,w\})a(v+w)$。
• 将 Weil 表示 $W(g)$ 定义为唯一（至多相差一个标量）满足 $a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ 的酉算子，其中 $g \in \mathrm{Sp}(\mathbb{V}_{2\infty})$。
• 引入线性关系范畴 $T: \mathbb{V}_{2\mu} \rightrightarrows \mathbb{V}_{2\nu}$，通过投影定义其核、定义域、像及不定性。
• 将完美拉格朗日子关系定义为 $\mathbb{V}_{2\mu} \oplus \mathbb{V}_{2\nu}$ 中的极大迷向子空间 $T$，满足核、像及其正交补的紧致性与余离散性条件。
• 利用商空间中的对偶性与正交性，证明复合下的封闭性：若 $T$ 与 $S$ 为完美拉格朗日子关系，则 $ST$ 亦为完美拉格朗日子关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将有限域上无限维辛群的 Weil 表示扩展至线性关系范畴？
• RQ2 在局部紧阿贝尔群背景下，什么条件定义了完美拉格朗日子关系？
• RQ3 两个完美拉格朗日子关系的复合是否仍为完美拉格朗日子关系？
• RQ4 Weil 表示 $W(g)$ 如何通过 intertwine 关系 $a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ 与海森堡群作用相互作用？

主要发现

• Weil 表示 $W(g)$ 作为 $\ell^2(V^{d}_{\infty})$ 上的酉算子存在，且对所有 $g \in \mathrm{Sp}(\mathbb{V}_{2\infty})$ 满足 intertwine 条件 $a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$。
• 该表示是取值于模为 1 的 $\mathbb{C}^\times$ 的投影表示，尽管在无限维情形尚不明确其是否为线性或投影表示。
• 完美拉格朗日子关系是闭的、极大迷向的子空间，其核与不定性为紧致，定义域与像为余离散。
• 两个完美拉格朗日子关系 $T: \mathbb{V}_{2\mu} \rightrightarrows \mathbb{V}_{2\nu}$、$S: \mathbb{V}_{2\nu} \rightrightarrows \mathbb{V}_{2\varkappa}$ 的复合 $ST$ 仍为完美拉格朗日子关系，其证明基于商空间中的正交性。
• 完美拉格朗日子关系 $T$ 的伪逆 $T^\square$ 满足 $T^\square = (T^\lozenge)^\lozenge$，且该关系在取伴随下封闭。
• Weil 算子 $W(P)$ 的伴随满足 $W(P)^* a(-w) = a(-v) W(P)^*$，这表明 $W(P)^*$ 与 $W(P^\square)$ 相等，从而确认其与对偶性的兼容性。