[论文解读] On the well-posedness of Bayesian inversion for PDEs with ill-posed forward problems

Samuel Lanthaler, Siddhartha Mishra+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2021

Reservoir Engineering and Simulation Methods参考文献 26被引用 1

一句话总结

本文建立了具有不适定正向问题（如欧拉方程和纳维-斯托克斯方程）的PDE的贝叶斯反问题的适定性。在对数值逼近的一般假设下，证明了在噪声数据扰动下后验测度的存在性与稳定性，将适定性扩展至时变数据同化（滤波）问题。

ABSTRACT

We study the well-posedness of Bayesian inverse problems for PDEs, for which the underlying forward problem may be ill-posed. Such PDEs, which include the fundamental equations of fluid dynamics, are characterized by the lack of rigorous global existence and stability results as well as possible non-convergence of numerical approximations. Under very general hypotheses on approximations to these PDEs, we prove that the posterior measure, expressing the solution of the Bayesian inverse problem, exists and is stable with respect to perturbations of the (noisy) measurements. Moreover, analogous well-posedness results are obtained for the data assimilation (filtering) problem in the time-dependent setting. Finally, we apply this abstract framework to the incompressible Euler and Navier-Stokes equations and to hyperbolic systems of conservation laws and demonstrate well-posedness results for the Bayesian inverse and filtering problems, even when the underlying forward problem may be ill-posed.

研究动机与目标

• 解决当底层正向PDE模型不适定（缺乏全局存在性或稳定性）时贝叶斯反问题的挑战。
• 在正向问题不适定的情况下，建立后验测度仍保持良好定义的严格条件。
• 将适定性结果扩展至涉及不适定PDE的时变数据同化（滤波）问题。
• 提供一个适用于基本流体动力学方程（包括不可压缩欧拉方程和纳维-斯托克斯方程）的一般框架。
• 证明即使正向问题的数值逼近不收敛，后验的稳定性和存在性依然得以保持。

提出的方法

• 在一般泛函分析框架下表述贝叶斯反问题，将正向算子视为可能不适定的映射。
• 通过弱收敛和紧性论证，在对正向PDE逼近的假设最小化的情况下，证明后验测度的存在性。
• 通过测度的弱收敛，建立后验对噪声观测扰动的稳定性。
• 通过将滤波问题建模为随时间演化的正向模型的序列贝叶斯更新，将该框架应用于时变系统。
• 利用对逼近格式（如有限元或有限体积方法）的一般假设，这些假设不要求逼近本身收敛。
• 使用测度论工具，包括普罗霍罗夫定理和斯科罗霍德定理，处理正向问题中缺乏强收敛性的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 当正向PDE不适定时，贝叶斯反问题中的后验测度在何种条件下仍保持适定？
• RQ2 即使正向问题缺乏全局存在性或稳定性，是否也能保证后验对噪声测量扰动的稳定性？
• RQ3 该框架是否可扩展至涉及不适定PDE（如守恒律）的时变数据同化问题？
• RQ4 在不收敛的一般逼近格式下，对反问题的适定性有何影响？
• RQ5 理论结果能否直接应用于基本流体动力学方程（如不可压缩欧拉方程和纳维-斯托克斯方程）？

主要发现

• 只要逼近满足温和的一般假设，涉及不适定PDE的贝叶斯反问题中后验测度即存在。
• 后验对观测数据扰动具有稳定性，确保了在噪声测量下贝叶斯推理的鲁棒性。
• 即使底层PDE正向模型不适定，时变滤波问题的适定性也得以建立。
• 结果可直接应用于不可压缩欧拉方程和纳维-斯托克斯方程，尽管它们已知缺乏全局存在性和稳定性结果。
• 后验的稳定性和存在性并不要求正向PDE数值逼近的收敛，仅需逼近测度的弱收敛。
• 该框架为流体动力学和守恒律中不确定性量化提供了严格的理论基础，即使传统正向求解器可能失效。