[论文解读] On the well-posedness of the full compressible Navier-Stokes system in critical Besov spaces

Noboru Chikami, Raphaël Danchin|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用 63

一句话总结

该论文在临界 Besov 空间中建立了 $ n \geq 2 $ 且 $ 1 < p < 2n $ 时全可压缩 Navier-Stokes 方程的局部适定性，采用拉格朗日变换和泛函框架中的不动点论证，其中初始数据满足 $ \rho_0 - 1 \in \dot{B}^{n/p}_{p,1} $，$ u_0 \in \dot{B}^{n/p - 1}_{p,1} $，$ \theta_0 \in \dot{B}^{n/p - 2}_{p,1} $。主要贡献在于相比先前工作，显著扩展了系统局部适定性成立的 $ p $ 范围。

ABSTRACT

We are concerned with the Cauchy problem of the full compressible Navier-Stokes equations satisfied by viscous and heat conducting fluids in $\\mathbb{R}^n.$ We focus on the so-called critical Besov regularity framework. In this setting, it is natural to consider initial densities $\ ho_0,$ velocity fields $u_0$ and temperatures $\ heta_0$ with $a_0:=\ ho_0-1\\in\\dot B^{\\frac np}_{p,1},$ $u_0\\in\\dot B^{\\frac np-1}_{p,1}$ and $\ heta_0\\in\\dot B^{\\frac np-2}_{p,1}.$ After recasting the whole system in Lagrangian coordinates, and working with the \\emph{total energy along the flow} rather than with the temperature, we discover that the system may be solved by means of Banach fixed point theorem in a critical functional framework whenever the space dimension is $n\\geq2,$ and $1&lt;p&lt;2n.$ Back to Eulerian coordinates, this allows to improve the range of $p$'s for which the system is locally well-posed, compared to Danchin, Comm. Partial Differential Equations 26 (2001).

研究动机与目标

• 在齐次 Besov 空间中，建立全可压缩 Navier-Stokes 方程在临界正则性框架下的局部适定性。
• 将系统局部适定性成立的允许 $ p $ 范围扩展至先前结果之外，特别是针对 $ p < 2n $ 的情形。
• 在一般压力律 $ P = \pi_0(\rho) + \theta \pi_1(\rho) $ 下，处理包含密度、速度与温度动力学的完整系统。
• 克服临界正则性空间中可压缩性、黏性与热传导之间耦合带来的挑战。
• 在转换为拉格朗日坐标后，通过 Banach 不动点定理在临界泛函框架中证明系统可解。

提出的方法

• 利用流映射 $ X $ 将欧拉系统转换为拉格朗日坐标，以简化方程结构。
• 将能量方程改用总能量 $ E = \rho(|u|^2/2 + e) $ 表示，而非温度 $ \theta $，以改善正则性性质。
• 在齐次 Besov 空间 $ \dot{B}^{s}_{p,1} $ 中工作，其中 $ s = n/p $，$ n/p - 1 $，$ n/p - 2 $ 分别对应密度、速度与能量，以保持标度假不变性。
• 在临界泛函框架中应用 Banach 不动点定理，证明解的存在性与唯一性。
• 利用微分同胚下导数与雅可比行列式变换的链式法则，控制变换后系统中的非线性项。
• 在 Besov 范数下建立雅可比行列式 $ J $、其逆矩阵以及形变张量 $ DX $ 的伴随矩阵的估计，以完成不动点论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $ 1 < p < 2n $ 条件下，证明全可压缩 Navier-Stokes 系统在临界 Besov 空间中具有局部适定性？
• RQ2 将系统转换为拉格朗日坐标并追踪总能量 $ E $ 而非温度 $ \theta $，是否能改善临界空间中正则性与可解性？
• RQ3 系统在临界框架中保持局部适定性的最优 $ p $ 范围是什么？与先前结果相比如何？
• RQ4 在临界 Besov 设置下，涉及密度、速度与能量的非线性项如何相互作用？能否通过不动点方法加以控制？
• RQ5 雅可比行列式与形变张量在 Besov 空间中坐标变换下，对保持方程结构起何作用？

主要发现

• 在 $ n \geq 2 $ 且 $ 1 < p < 2n $ 条件下，全可压缩 Navier-Stokes 系统在临界 Besov 空间中具有局部适定性，其 $ p $ 的适用范围较先前工作显著扩展。
• 采用拉格朗日坐标并以总能量 $ E $ 代替温度 $ \theta $，可更有效地控制能量方程中的非线性项。
• 在初始数据满足 $ \rho_0 - 1 \in \dot{B}^{n/p}_{p,1} $，$ u_0 \in \dot{B}^{n/p - 1}_{p,1} $，$ \theta_0 \in \dot{B}^{n/p - 2}_{p,1} $ 的泛函框架中，通过 Banach 不动点定理求解系统。
• 雅可比行列式 $ J $、其逆矩阵以及形变张量 $ DX $ 的伴随矩阵在 $ \dot{B}^{n/p}_{p,1} $ 范数下的估计，可由速度梯度 $ D\delta v $ 在 $ L^1_T(\dot{B}^{n/p}_{p,1}) $ 中的范数控制。
• 转换为拉格朗日坐标后，方程结构得以保持，且在临界框架中可一致处理完整系统。
• 本结果相较于早期工作 [danchin1] 有所改进，特别是在 $ p < 2n $ 时，扩展了局部适定性成立的 $ p $ 范围。