[论文解读] On the Wiener index and Laplacian coefficients of graphs with given diameter or radius

Aleksandar Ilić, Andreja Ilić+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2011

Graph theory and applications参考文献 17被引用 20

一句话总结

本文通过子图匹配数与拉普拉斯系数之间的联系，刻画了在给定直径或半径下，同时最小化所有拉普拉斯系数的树与连通图。关键结果表明，在 $ n $ 个顶点、直径为 $ d $ 的树中，$ C_{n,d} $ 最小化所有系数；在半径为 $ r $ 的图中，$ C_{n,2r-1} $ 实现该最小化，推广了此前关于 Wiener 指数最小化的结果。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple undirected $n$-vertex graph with the characteristic polynomial of its Laplacian matrix $L(G)$, $\det (λI - L (G))=\sum_{k = 0}^n (-1)^k c_k λ^{n - k}$. It is well known that for trees the Laplacian coefficient $c_{n-2}$ is equal to the Wiener index of $G$. Using a result of Zhou and Gutman on the relation between the Laplacian coefficients and the matching numbers in subdivided bipartite graphs, we characterize first the trees with given diameter and then the connected graphs with given radius which simultaneously minimize all Laplacian coefficients. This approach generalizes recent results of Liu and Pan [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 60 (2008), 85--94] and Wang and Guo [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 60 (2008), 609--622] who characterized $n$-vertex trees with fixed diameter $d$ which minimize the Wiener index. In conclusion, we illustrate on examples with Wiener and modified hyper-Wiener index that the opposite problem of simultaneously maximizing all Laplacian coefficients has no solution.

研究动机与目标

• 将关于固定直径树中 Wiener 指数最小化的已有结果，扩展至所有拉普拉斯系数的同时最小化。
• 刻画在固定半径 $ r $ 下，最小化所有拉普拉斯系数的连通 $ n $-顶点图的结构。
• 通过证明在直径为 $ d $ 的树中 $ C_{n,d} $ 最小化所有 $ c_k $ 系数，推广 Liu 和 Pan 以及 Wang 和 Guo 的结果。
• 通过反例说明所有拉普拉斯系数同时最大化的问题无解，涉及 Wiener 指数与修正超 Wiener 指数。

提出的方法

• 利用恒等式 $ c_k(T) = m_k(S(T)) $，其中 $ c_k $ 是树 $ T $ 的第 $ k $ 个拉普拉斯系数，$ m_k(S(T)) $ 是子图 $ S(T) $ 中大小为 $ k $ 的匹配数。
• 应用引理 2.2，证明路径并集的匹配数在路径长度尽可能相等时最小，用于比较猫耳形图子图中的匹配数。
• 在一般猫耳形图 $ C(a_1,\dots,a_{d-1}) $ 与其子图 $ C_{n,d} $ 的匹配之间建立对应关系，证明 $ m_k(S(C_{n,d})) \leq m_k(S(C(a_1,\dots,a_{d-1}))) $。
• 利用拉普拉斯特征值的交错性，证明边删除不会增加拉普拉斯系数，从而可将一般图简化为生成树。
• 应用 $ c_k(C_{n,2r-1}) \leq c_k(C_{n,2r}) $ 的结果，证明 $ C_{n,2r-1} $ 在半径为 $ r $ 的图中最小化系数。
• 通过计算验证（最多 20 个顶点）分析所有 $ c_k $ 最大化的极值图，特别关注 $ c_{n-2} $（Wiener 指数）与 $ c_{n-3} $（修正超 Wiener 指数）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定直径 $ d $ 的 $ n $ 个顶点树中，哪些图能同时最小化所有拉普拉斯系数 $ c_k $？
• RQ2 在固定半径 $ r $ 的连通 $ n $-顶点图中，哪些图能同时最小化所有拉普拉斯系数 $ c_k $？
• RQ3 能否同时最大化所有拉普拉斯系数？若不能，原因是什么？
• RQ4 在固定直径或半径下，Wiener 指数与修正超 Wiener 指数的极值图如何比较？
• RQ5 猫耳形图的哪些结构特性能确保所有 $ k $ 下拉普拉斯系数最小化？

主要发现

• 猫耳形图 $ C_{n,d} $ 是唯一在 $ n $ 个顶点、直径为 $ d $ 的树中，使所有拉普拉斯系数 $ c_k $（$ k = 0,1,\dots,n $）最小化的图。
• 对于半径为 $ r $ 的连通 $ n $-顶点图，猫耳形图 $ C_{n,2r-1} $ 最小化所有拉普拉斯系数 $ c_k $。
• 在各自的图类中，Wiener 指数 $ c_{n-2} $ 由 $ C_{n,d} $ 最小化，修正超 Wiener 指数 $ c_{n-3} $ 由 $ C_{n,2r-1} $ 最小化。
• 不存在单一图能同时最大化所有拉普拉斯系数，因为 $ c_{n-2} $ 与 $ c_{n-3} $ 的极值图即使在小 $ n $ 时也不同。
• 当 $ n=18 $、直径 $ d=4 $ 时，使 $ c_{16} $（Wiener 指数）最大的树与使 $ c_{15} $（修正超 Wiener 指数）最大的树不同。
• 当 $ n=17 $、半径 $ r=5 $ 时，使 $ c_{15} $（Wiener 指数）最大的树与使 $ c_{14} $（修正超 Wiener 指数）最大的树不同。