[论文解读] On the Witten index in terms of spectral shift functions

Alan L. Carey, Fritz Gesztesy+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 41被引用 11

一句话总结

本文建立了模型算子 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ 的 Witten 指数的公式，该公式以与渐近算子 $A_\pm$ 相关的谱移函数 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 表示。关键结果表明，预解式正则化与半群正则化的 Witten 指数相等，且等于谱移函数在零点左右 Lebesgue 极限的平均值：$W_r = W_s = \frac{1}{2}\big(\xi_L(0_+; A_+, A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)\big)$，将 Fredholm 指数概念推广至非 Fredholm 设置。

ABSTRACT

We study the model operator $\mathbf{D}_{\mathbf{A}} = (d/dt) + \mathbf{A}$ in $L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ associated with the operator path $\{A(t)\}_{t=-\infty}^{\infty}$, where $(\mathbf{A} f)(t) = A(t) f(t)$ for a.e.\ $t\in\mathbb{R}$, and appropriate $f \in L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ (with $\mathcal{H}$ a separable, complex Hilbert space). Denoting by $A_{\pm}$ the norm resolvent limits of $A(t)$ as $t o \pm \infty$, our setup permits $A(t)$ in $\mathcal{H}$ to be an unbounded, relatively trace class perturbation of the unbounded self-adjoint operator $A_-$, and no discrete spectrum assumptions are made on $A_{\pm}$. We introduce resolvent and semigroup regularized Witten indices of $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$, denoted by $W_r$ and $W_s$, and prove that these regularized indices coincide with the Fredholm index of $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ whenever the latter is Fredholm. In situations where $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ ceases to be a Fredholm operator in $L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ we compute its resolvent (resp., semigroup) regularized Witten index in terms of the spectral shift function $ξ(\,\cdot\,;A_+,A_-)$ associated with the pair $(A_+, A_-)$ as follows: Assuming $0$ to be a right and a left Lebesgue point of $ξ(\,\cdot\,\, ; A_+, A_-)$, denoted by $ξ_L(0_+; A_+,A_-)$ and $ξ_L(0_-; A_+, A_-)$, we prove that $0$ is also a right Lebesgue point of $ξ(\,\cdot\,\, ; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1})$, denoted by $ξ_L(0_+; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1})$, and that \begin{align*} W_r(\mathbf{D}_{\mathbf{A}}) &= W_s(\mathbf{D}_{\mathbf{A}}) \\ & = ξ_L(0_+; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1}) \\ & = [ξ_L(0_+; A_+,A_-) + ξ_L(0_-; A_+, A_-)]/2, \end{align*} the principal result of this paper. In the special case where $\dim(\mathcal{H}) < \infty$, we prove that the Witten indices of $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ are either integer, or half-integer-valued.

研究动机与目标

• 将 Fredholm 指数概念推广至希尔伯特空间值 $L^2$-空间上的微分算子的非 Fredholm 算子情形。
• 为算子 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ 定义并分析其预解式正则化与半群正则化的 Witten 指数，其中 $\boldsymbol{A}$ 是自伴算子的路径。
• 建立 Witten 指数与相对迹类扰动相关的谱移函数 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 之间的精确关系。
• 证明即使 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}$ 不是 Fredholm 算子，其 Witten 指数仍为谱移函数在零点左右 Lebesgue 极限的半和。
• 证明在有限维希尔伯特空间中，Witten 指数取值为整数或半整数。

提出的方法

• 在 $L^2(\mathbb{R}; \mathcal{H})$ 上定义模型算子 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$，其中 $\boldsymbol{A}$ 是乘法算子，对应于自伴算子路径 $A(t)$ 及其渐近极限 $A_\pm$。
• 引入相关的非负自伴算子 $\boldsymbol{H}_1 = \boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{H}_2 = \boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}^*$。
• 将预解式正则化 Witten 指数定义为 $W_r(\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}) = \lim_{\lambda \uparrow 0} (-\lambda) \operatorname{tr}\big( (\boldsymbol{H}_1 - \lambda I)^{-1} - (\boldsymbol{H}_2 - \lambda I)^{-1} \big)$。
• 将半群正则化 Witten 指数定义为 $W_s(\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}) = \lim_{t \uparrow \infty} \operatorname{tr}\big( e^{-t\boldsymbol{H}_1} - e^{-t\boldsymbol{H}_2} \big)$。
• 利用谱移函数理论，将预解式与半群之间的差异与谱移函数 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 关联。
• 在零点为左右 Lebesgue 点的假设下，证明 $W_r = W_s = \xi_L(0_+; \boldsymbol{H}_2, \boldsymbol{H}_1) = \frac{1}{2}\big(\xi_L(0_+; A_+, A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)\big)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为形如 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ 的非 Fredholm 算子定义并计算 Witten 指数？
• RQ2 Witten 指数与渐近算子 $A_\pm$ 的谱移函数 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 之间存在何种关系？
• RQ3 在何种条件下，预解式正则化与半群正则化的 Witten 指数会相等？
• RQ4 Witten 指数能否表示为谱移函数在零点左右 Lebesgue 极限的半和？
• RQ5 当希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 为有限维时，Witten 指数的可能取值是什么？

主要发现

• 当存在时，$\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}$ 的预解式正则化与半群正则化 Witten 指数相等。
• Witten 指数等于对偶对 $(\boldsymbol{H}_2, \boldsymbol{H}_1)$ 的谱移函数在零点的值，即 $W_r = W_s = \xi_L(0_+; \boldsymbol{H}_2, \boldsymbol{H}_1)$。
• 该指数由 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 在零点左右 Lebesgue 极限的平均值给出：$W_r = W_s = \frac{1}{2}\big(\xi_L(0_+; A_+, A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)\big)$。
• 该结果在假设零点为 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 的右和左 Lebesgue 点时成立，确保了相关极限的存在性。
• 在有限维情形（$\dim(\mathcal{H}) < \infty$）下，Witten 指数取值为整数或半整数。
• 证明依赖于迹估计与 Abel 变换，关键界估计源自与指数映射相关的函数的 $C^2$-范数及相对迹类扰动。