[论文解读] On the wonderful compactification

Sam Evens, Benjamin F. Jones|ArXiv.org|Jan 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 22

一句话总结

本文对复半单群的优美紧化（wonderful compactification）提供了自包含的阐述，通过使用正则最高权表示的射影嵌入来构建它。关键结果表明，该紧化是光滑的，其 $G \times G$-轨道闭包对应于光滑除子的交集，且每个轨道闭包在部分旗流形上纤维化，纤维为对称空间的紧化形式。

ABSTRACT

These lecture notes explain the construction and basic properties of the wonderful compactification of a complex semisimple group of adjoint type. An appendix discusses the more general case of a semisimple symmetric space.

研究动机与目标

• 为不具备代数群理论深厚背景的研究人员提供关于复半单群（伴随型）优美紧化的可访问且自包含的导引。
• 阐明紧化的几何与群论结构，特别是其 $G \times G$-轨道分解与光滑性。
• 通过附录中关于一般对称空间的讨论，建立紧化与对称空间紧化之间的关系。
• 利用 $T \times T$-不动点与扇面方法，计算紧化的上同调。
• 证明紧化是光滑的，且所有 $G$-轨道闭包均为光滑，并对应于除子 $D_I$ 的交集。

提出的方法

• 通过复半单群 $G$ 的正则最高权表示 $V(\lambda)$ 的射影嵌入来构造紧化。
• 将开仿射部分 $\mathbb{P}_0(V)$ 定义为最高权向量 $v_0$ 的系数非零的点的集合。
• 利用 $U^{-}$ 的作用，将 $\mathbb{P}_0(V)$ 与 $\mathbb{C}^n$ 同构，表明其同构于未化子群。
• 通过一个 $G$-等变态射 $\nu$ 和一个 $N^{-}$-等变收缩 $\beta$，构造一个同构 $\chi: N^{-} \times \mathbb{C}^r \to X_0$。
• 利用赋值准则与希尔伯特-芒福德准则（通过命题 5.2），证明 $G$-轨道闭包 $V$ 是射影的，因此等于 $X$。
• 利用扇面几何，证明 $T$-轨道的闭包是完备的，借助 Weyl 房间分解与小 Weyl 群 $W_A$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以对非专家友好的方式构造复半单群（伴随型）的优美紧化？
• RQ2 该紧化中 $G \times G$-轨道及其闭包的结构是什么？
• RQ3 为什么优美紧化是光滑的？其光滑性如何从轨道结构与扇面几何推导而出？
• RQ4 紧化的上同调如何与 $T \times T$-不动点及 Weyl 群相关联？
• RQ5 群紧化与更一般的对称空间紧化之间存在何种关系？

主要发现

• 复半单群 $G$（伴随型）的优美紧化 $X$ 是光滑的，其证明依赖于构造同构 $\chi: N^{-} \times \mathbb{C}^r \to X_0$，并利用扇面概形的完备性。
• 开 $G \times G$-轨道 $X_0$ 同构于 $N^{-} \times \mathbb{C}^r$，且 $X_0$ 在 $X$ 中稠密，$X$ 是 $X_0$ 的 $G$-轨道闭包，故为射影的。
• $X$ 中所有 $G$-轨道闭包均为光滑，且对应于光滑除子 $D_i$ 的交集 $D_I = \bigcap_{i \in I} D_i$，其中 $D_i$ 是 $X_0$ 中 $G$-轨道的闭包。
• $T$-轨道的闭包是完备的，因其包含一个稠密的 $A/D$-稳定扇面概形，且其扇图完备，故由标准扇面结果可推出射影性。
• 每个 $G$-轨道闭包 $D_I$ 在部分旗流形 $G/Q_I$ 上纤维化，其纤维同构于 $Q_I$ 的勒维因子所关联的对称空间的优美紧化。
• 通过 $T \times T$-不动点计算了 $X$ 的上同调，且 $T \times T$-不动点集的结构与 Weyl 群及 Weyl 房间分解密切相关。