[论文解读] On the Woodin Construction of Failure of GCH at a Measurable Cardinal

Yoav Ben Shalom|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文精炼了 Woodin 在可乘基数 $\kappa$ 处构造 GCH 失效的泛系数扩展的方法，表明此前所需的额外强迫步骤可被消除。通过使用 Easton 支持的 Cohen 强迫迭代，将所有不可达基数 $\alpha \leq \kappa$ 的 $\alpha^{+\gamma}$ 提升，作者证明在假设 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$ 对任意后继序数 $\gamma < \kappa$ 成立时，可直接在 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ 中提升初等嵌入 $j: V \to M$，同时保持可定义性。关键贡献在于：通过简化、最小化的强迫构造，实现了在 $\kappa$ 处 GCH 失效而无需额外强迫。

ABSTRACT

Let GCH hold and let $j:V\longrightarrow M$ be a definable elementary embedding such that $crit(j)=κ$, $^κM\subseteq M$ and $κ^{++}=κ_{M}^{++}$. H. Woodin proved that there is a cofinality preserving generic extension in which $κ$ is measurable and GCH fails at it. This is done by using an Easton support iteration of Cohen forcings for blowing the power of every inaccessible $α\leqκ$ to $α^{++}$, and then adding another forcing on top of that. We show that it is enough to use the iterated forcing, and that the latter forcing is not needed. We will show this not only for the case where $κ^{++}=κ_{M}^{++}$, but for every successor ordinal $γ$, where $0&lt; γ&lt; κ$, we will show it when the assumption is $κ^{+γ}=κ_{M}^{+γ}$.

研究动机与目标

• 精炼 Woodin 在可乘基数 $\kappa$ 处构造保持共尾性的泛系数扩展的方法，使 GCH 失效。
• 消除此前为提升初等嵌入 $j$ 而需的额外强迫步骤，仅通过 Easton 支持迭代即可完成。
• 将构造从 $\gamma = 2$ 的情形推广至所有满足 $0 < \gamma < \kappa$ 的后继序数 $\gamma$，在假设 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$ 下进行。
• 证明初等嵌入 $j$ 可直接在扩展 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ 中提升，而无需进一步强迫。

提出的方法

• 使用 Easton 支持迭代 $\mathbb{P}^\gamma = \mathbb{P}_{\kappa+1}^\gamma$，其中对不可达基数 $\alpha \leq \kappa$，有 $\mathbb{Q}_\alpha = \mathrm{Add}(\alpha, \alpha^{+\gamma})_{V[G_\alpha]}$，其余情况为平凡强迫。
• 通过直接构造避免需要额外强迫扩展，将可定义的初等嵌入 $j: V \to M$ 提升至 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$。
• 在 $M[G \ast g \ast H]$ 中，利用归纳法和闭包性质，构造一系列相容的单射部分函数 $f_i$，从 $j(\kappa)$ 映射到 $j(\gamma)$，每个映射到 $S_i'$。
• 利用超幂嵌入和延伸器模型的结构，确保提升后嵌入的像在扩展中保持良好行为且可定义。
• 对临界点的共尾性进行归纳，并利用 $T_l^i$ 和 $i(\gamma_l^i)_0$ 的性质，控制集合在嵌入下的像。
• 利用 $|I| = \gamma = |j(\kappa)|$ 的事实，并在 $M[G \ast g \ast H]$ 中将 $j(\kappa)$ 划分为 $|I|$ 个不相交子集，以确保单射性和定义域的覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 Woodin 原始构造中所需的额外强迫步骤是否可被移除，同时仍实现在可乘基数 $\kappa$ 处 GCH 失效？
• RQ2 在假设 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$ 下，是否可能在 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ 中直接提升初等嵌入 $j: V \to M$ 而无需进一步强迫？
• RQ3 该构造能否从 $\gamma = 2$ 推广至所有满足 $0 < \gamma < \kappa$ 的后继序数 $\gamma$？
• RQ4 仅使用迭代强迫时，嵌入 $j$ 的可定义性是否在扩展 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ 中保持不变？

主要发现

• 本文证明，此前为提升嵌入 $j$ 而使用的额外强迫步骤是不必要的，仅通过迭代的 Easton 支持强迫 $\mathbb{P}^\gamma$ 即可实现 $j$ 在 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ 中的提升，且保持可定义性。
• 对每个满足 $0 < \gamma < \kappa$ 的后继序数 $\gamma$，若 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$，则 $\mathbb{P}^\gamma$ 可在 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ 中提升 $j$，同时保持可定义性。
• 该构造适用于所有不可达基数 $\alpha \leq \kappa$，通过 $\mathrm{Add}(\alpha, \alpha^{+\gamma})$ 将 $\alpha^{+\gamma}$ 提升至 $\alpha^{+\gamma}$，确保共尾性保持不变。
• 通过直接构造一系列相容的单射函数 $f_i$ 从 $j(\kappa)$ 到 $j(\gamma)$，其像覆盖 $S_i'$，并令 $f = \bigcup f_i$ 为从 $j(\kappa)$ 到 $j(\gamma)$ 的双射，实现提升。
• 关键技术突破在于使用序列 $\langle f_i \mid i \in I \rangle$，其中 $|I| = \gamma = |j(\kappa)|$，每个 $f_i$ 通过归纳构造，利用集合 $A_i$ 和 $B_i$ 确保定义域不相交与单射性。
• 证明表明：在 $M[G \ast g \ast H]$ 中，若 $Y \in P_{j(\kappa)^+}(j(\gamma))$，则存在 $Z \in M[G \ast g \ast H]$ 使得 $Y \subseteq f''Z$，从而确认扩展中所需的闭包性和可定义性。