[论文解读] On the works of Euler and his followers on spherical geometry

Athanase Papadopoulos|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2014

History and Theory of Mathematics参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文回顾并分析了欧拉及其追随者（尤其是莱克塞尔和舒伯特）在球面几何时的贡献，聚焦于球面三角学、内蕴几何定理以及地图投影。文章突出展示了若干关键成果，如莱克塞尔关于固定面积球面三角形顶点轨迹的定理，以及欧拉对帕普斯定理的球面类比，揭示了与欧氏几何的深刻类比，并展示了变分法与对偶性理论在无需依赖立体几何的内蕴证明中的应用。

ABSTRACT

We review and comment on some works of Euler and his followers on spherical geometry. We start by presenting some memoirs of Euler on spherical trigonometry. We comment on Euler's use of the methods of the calculus of variations in spherical trigonometry. We then survey a series of geometrical resuls, where the stress is on the analogy between the results in spherical geometry and the corresponding results in Euclidean geometry. We elaborate on two such results. The first one, known as Lexell's Theorem (Lexell was a student of Euler), concerns the locus of the vertices of a spherical triangle with a fixed area and a given base. This is the spherical counterpart of a result in Euclid's Elements, but it is much more difficult to prove than its Euclidean analogue. The second result, due to Euler, is the spherical analogue of a generalization of a theorem of Pappus (Proposition 117 of Book VII of the Collection) on the construction of a triangle inscribed in a circle whose sides are contained in three lines that pass through three given points. Both results have many ramifications, involving several mathematicians, and we mention some of these developments. We also comment on three papers of Euler on projections of the sphere on the Euclidean plane that are related with the art of drawing geographical maps.

研究动机与目标

• 系统梳理并阐释欧拉及其学术圈在球面几何中鲜为人知但数学内涵丰富的贡献。
• 突出展示在证明球面定理时所采用的内蕴微分几何方法，尤其是变分法与对偶性理论，避免依赖三维欧氏空间嵌入。
• 强调球面几何时与欧氏几何时的类比关系，特别是在三角形轨迹与圆的构造方面，并阐明其历史与数学意义。
• 引起对欧拉追随者（如莱克塞尔与舒伯特）工作的重视，他们推动了球面三角学与地图投影的发展。
• 激励现代几何学家研读原始文献，认识球面几何作为根植于欧拉传统的深厚且持续发展的领域。

提出的方法

• 系统性回顾并评述欧拉关于球面三角学的论文，特别是那些运用变分法实现内蕴推导三角恒等式的著作。
• 运用球面上的内蕴微分几何，包括对偶性理论与度量性质，证明结果时避免将球面嵌入三维欧氏空间。
• 分析历史发展进程，包括对托勒密、梅内劳斯与托勒密等人的著作的重新发现与重新诠释，以定位欧拉及其追随者贡献的历史背景。
• 考察欧拉关于球面投影的三篇关键论文，聚焦于保持面积、保角性以及子午线与纬线正交性的地图投影。
• 比较欧氏几何与球面几何中经典定理的类比，如欧几里得命题37与39，以及帕普斯命题117，以阐明几何对偶性。
• 综合莱克塞尔、舒伯特与富斯关于三角形轨迹、球面上圆的性质以及多边形度量学的研究成果，包括内切与外接圆半径的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉如何运用变分法推导球面三角恒等式的内蕴证明？与基于经典欧氏几何的推导相比，该方法有何优势？
• RQ2 莱克塞尔定理在球面几何时具有何种意义？它如何作为欧几里得命题37与39（关于三角形面积与底边）的非平凡球面类比？
• RQ3 欧拉及其追随者如何发展帕普斯定理的球面类比（《文集》第七卷命题117）——即构造一个内接于圆的三角形，使其边分别通过三个给定点——这对射影几何与度量几何在球面上的发展有何影响？
• RQ4 欧拉及其合作者在证明球面定理时，以何种方式避免依赖立体几何时的构造？他们如何运用对偶性与内蕴方法替代？
• RQ5 球面几何时在地图制图的发展中扮演了何种角色？欧拉关于投影的工作如何为保持特定几何性质的地图投影提供了数学刻画？

主要发现

• 莱克塞尔定理将固定底边与固定面积的球面三角形顶点轨迹刻画为一个圆周，这是欧几里得结果的球面类比，但其证明更为复杂。
• 欧拉发展了帕普斯定理（《文集》第七卷命题117）的球面类比，构造一个内接于圆的三角形，使其三边分别位于通过三个给定点的三条直线上，从而将经典欧氏几何时拓展至球面情形。
• 欧拉运用变分法内蕴地推导出球面三角恒等式，避免依赖球面与过原点的欧氏平面的交线，从而为球面三角学奠定了微分几何基础。
• 莱克塞尔推导出球面三角形面积的球面类比赫伦公式，以及托勒密定理的球面版本，展示了球面上度量关系的丰富性。
• 舒伯特在莱克塞尔与富斯工作的基础上，确定了在各种几何约束下三角形顶点的轨迹，并表明球面三角学可基于托勒密定理建立，凸显了标准三角系统之外的奠基性替代路径。
• 本文揭示，欧拉及其追随者系统地运用内蕴方法，尤其是对偶性理论，使他们的证明完全独立于三维欧氏空间的嵌入，这一方法论上的进步早于且与现代微分几何的发展相呼应。