[论文解读] On the Yau-Tian-Donaldson conjecture for generalized Kähler-Ricci soliton equations

Jiyuan Han, Chi Li|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2020

Geometry and complex manifolds被引用 5

一句话总结

本文在具有 torus 作用和 klt 奇点的对数 Fano 代数簇上，建立了广义 Yau-Tian-Donaldson (YTD) 猜想，针对广义 Kähler-Ricci 溶剂方程，证明了解的存在性当且仅当数据满足等变一致 Θ-扭曲 g-Ding 稳定性。该方法结合变分法、全纯势论与非阿基米德几何，将 YTD 对应关系推广至具有任意 klt 奇点及在多面体上任意光滑正函数 g 的奇异代数簇，推广了此前关于 Kähler-Einstein、扭曲 Kähler-Ricci 及 Mabuchi 溶剂解的结果。

ABSTRACT

Let $(X, D)$ be a log variety with an effective holomorphic torus action, and $Θ$ be a closed positive $(1,1)$-current. For any smooth positive function $g$ defined on the moment polytope of the torus action, we study the Monge-Ampère equations that correspond to generalized and twisted Kähler-Ricci $g$-solitons. We prove a version of Yau-Tian-Donaldson (YTD) conjecture for these general equations, showing that the existence of solutions is always equivalent to an equivariantly uniform $Θ$-twisted $g$-Ding-stability. When $Θ$ is a current associated to a torus invariant linear system, we further show that equivariant special test configurations suffice for testing the stability. Our results allow arbitrary klt singularities and generalize most of previous results on (uniform) YTD conjecture for (twisted) Kähler-Ricci/Mabuchi solitons or Kähler-Einstein metrics.

研究动机与目标

• 将 Yau-Tian-Donaldson 猜想推广至具有任意 klt 奇点的对数 Fano 代数簇上的广义与扭曲 Kähler-Ricci g-溶剂方程。
• 建立复 Monge-Ampère 方程解的存在性与一种等变一致 Θ-扭曲 g-Ding 稳定性的等价关系。
• 证明当 Θ 来自一个 torus 不变线丛系统时，稳定性可仅通过特殊测试配置来检验。
• 通过统一的变分框架，将此前关于 Kähler-Einstein、扭曲 Kähler-Ricci 及 Mabuchi 溶剂解的结果推广至更广泛的方程类。

提出的方法

• 采用变分法研究形如 $ g({\bf m}_{\nu}) \frac{({\rm dd^{c}}\varphi)^{n}}{n!} = e^{-\varphi - \psi} $ 的复 Monge-Ampère 方程，其中 $ g $ 为 torus 作用的多面体上光滑正函数。
• 应用全息势论与非阿基米德几何，定义非阿基米德泛函，包括广义 Mabuchi 泛函与熵泛函。
• 引入 $ \Theta $-扭曲 $ g $-Ding 稳定性概念，并通过能量泛函的控制性与恰当性，证明其与解的存在性等价。
• 利用特殊测试配置检验稳定性，证明当 $ \Theta $ 与 torus 不变线丛系统相关时，等变特殊测试配置已足够。
• 采用 Kempf-Ness 类型泛函与凸性分析，将广义 Mabuchi 泛函与稳定性条件关联。
• 建立非阿基米德泛函极限的斜率公式，将其与测试配置上的交比理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 klt 奇点的对数 Fano 代数簇上，广义 Kähler-Ricci g-溶剂方程解的存在性是否对应于某种特定的代数稳定性条件？
• RQ2 Yau-Tian-Donaldson 猜想能否推广至包含多面体上任意光滑正函数 $ g $ 的方程？
• RQ3 在奇异情形下，等变一致 $ \Theta $-扭曲 $ g $-Ding 稳定性是否为解存在的充要条件？
• RQ4 当 $ \Theta $ 与 torus 不变线丛系统相关时，是否仅通过特殊测试配置即可检验稳定性？
• RQ5 非阿基米德泛函及其极限如何与底层面的几何结构及溶剂方程相关联？

主要发现

• 广义 Monge-Ampère 方程 $ g({\bf m}_{\varphi}) \frac{({\rm dd^{c}}\varphi)^{n}}{n!} = e^{-\varphi - \psi} $ 解的存在性等价于等变一致 $ \Theta $-扭曲 $ g $-Ding 稳定性。
• 当 $ \Theta $ 为与 torus 不变线丛系统相关的当前时，$ \Theta $-扭曲 $ g $-Ding 稳定性可仅通过特殊测试配置检验。
• 广义 Mabuchi 泛函与熵泛函的非阿基米德极限被证明收敛，并满足与测试配置上交数相关的斜率公式。
• 广义 Mabuchi 泛函沿测地线射线是凸的，其恰当性等价于泛函的控制性，后者又蕴含解的存在性。
• 本结果将此前关于 Kähler-Einstein、扭曲 Kähler-Ricci 及 Mabuchi 溶剂解的 YTD 猜想推广至具有任意 klt 奇点与光滑权函数 $ g $ 的更广泛方程类。
• 变分方法成功推广至奇异代数簇，且 MMP 过程可用于通过特殊测试配置检验稳定性。