[论文解读] On the Zarankiewicz problem for graphs with bounded VC-dimension

Oliver Janzer, Cosmin Pohoata|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过证明当二分图的 VC-维数至多为 $d \geq 3$ 时，$K_{k,k}$-自由图的边数为 $o(n^{2-1/d})$，解决了极值图论中的一个关键空白，优于此前已知的 $O(n^{2-1/d})$ 上界。该结果运用了超图去除引理的新颖应用以及双重计数论证，排除了有界 VC-维数设定下的稠密结构配置。

ABSTRACT

The problem of Zarankiewicz asks for the maximum number of edges in a bipartite graph on $n$ vertices which does not contain the complete bipartite graph $K_{k,k}$ as a subgraph. A classical theorem due to Kővári, Sós, and Turán says that this number of edges is $O\left(n^{2 - 1/k} ight)$. An important variant of this problem is the analogous question in bipartite graphs with VC-dimension at most $d$, where $d$ is a fixed integer such that $k \geq d \geq 2$. A remarkable result of Fox, Pach, Sheffer, Suk, and Zahl [J. Eur. Math. Soc. (JEMS), no. 19, 1785-1810] with multiple applications in incidence geometry shows that, under this additional hypothesis, the number of edges in a bipartite graph on $n$ vertices and with no copy of $K_{k,k}$ as a subgraph must be $O\left(n^{2 - 1/d} ight)$. This theorem is sharp when $k=d=2$, because by design any $K_{2,2}$-free graph automatically has VC-dimension at most $2$, and there are well-known examples of such graphs with $Ω\left(n^{3/2} ight)$ edges. However, it turns out this phenomenon no longer carries through for any larger $d$. We show the following improved result: the maximum number of edges in bipartite graphs with no copies of $K_{k,k}$ and VC-dimension at most $d$ is $o(n^{2-1/d})$, for every $k \geq d \geq 3$.

研究动机与目标

• 在有界 VC-维数条件下，弥合 Zarankiewicz 问题中的空白，特别是针对 $d \geq 3$ 的情形，此前的界尚未被证明为紧致。
• 证明 Fox 等人所得的 $O(n^{2-1/d})$ 上界在 $d \geq 3$ 时并非紧致，尽管该界在 $d = 2$ 时是紧致的。
• 确立 $K_{k,k}$-自由二分图在 VC-维数至多为 $d \geq 3$ 时，其边数必须显著少于 $n^{2-1/d}$。
• 研究在 VC-维数背景下 $O(n^{2-1/d})$ 上界的紧致性，并提出一个更强的、多项式更小指数的猜想。

提出的方法

• 应用超图去除引理，分析具有有界 VC-维数且共享邻域的顶点配置。
• 使用双重计数论证，限制可能支持稠密子结构的邻域中 $q$-集合的数量。
• 通过分析公共邻居数与不相交邻域集合的数量，当此类配置过多时导出矛盾。
• 采用概率删去论证构造下界，基于禁止子图的比值 $\frac{v(H)-2}{e(H)-1}$。
• 利用特定禁止图 $F$ 的结构，其 VC-维数为 $d+1$，以在构造中强制实现有界 VC-维数。
• 应用标准的放大与随机划分技术，推导出具有所需稀疏性与 VC-维数特性的二分图。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 VC-维数至多为 $d$ 的 $K_{k,k}$-自由二分图，$O(n^{2-1/d})$ 上界在 $d \geq 3$ 时是否紧致？
• RQ2 在相同的 VC-维数约束下，是否可以将上界中的指数改进至 $n^{2-1/d}$ 以下？
• RQ3 对于 VC-维数至多为 $d \geq 3$ 的 $K_{k,k}$-自由二分图，边数上界的最佳可能指数是什么？
• RQ4 是否可以以一种能显著改进有界 VC-维数超图定量上界的方式使用超图去除引理？
• RQ5 当 $k > d \geq 3$ 时，VC-维数约束如何影响极值边密度？

主要发现

• 当 $k \geq d \geq 3$ 时，VC-维数至多为 $d$ 的 $K_{k,k}$-自由二分图的最大边数为 $o(n^{2-1/d})$，优于先前的 $O(n^{2-1/d})$ 上界。
• 该结果在某种意义上是紧致的：$O(n^{2-1/d})$ 上界仅在 $d = 2$ 时是紧致的，而在 $d \geq 3$ 时并非紧致。
• 该证明依赖于对共享邻域的 $q$-集合的过度计数所导出的矛盾，表明过多此类集合将违反 VC-维数约束。
• 通过概率方法构造的下界可得 $\Omega(n^{2-1/(d-2-C/d)})$ 条边（当 $k \geq 2d-5$ 时），表明上界中的指数一般无法改进至 $2-1/(d-2)$ 以下。
• 作者猜想真实上界为 $O(n^{2-1/d-\epsilon})$（其中 $\epsilon > 0$），暗示当前上界与下界之间存在显著差距。
• 该结果表明，尽管 VC-维数约束不足以强制亚二次密度，但在 $d \geq 3$ 时确实能对经典 Kővári–Sós–Turán 上界实现非平凡的改进。