[论文解读] On The Zariski Topology Of Automorphism Groups Of Affine Spaces And Algebras

Alexei Kanel-Belov, Jie-Tai Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文利用 Ind-概形、 торические曲面 和逼近技巧，研究了多项式代数与自由结合代数的 Zariski 拓扑及自同构群。证明了当 n ≥ 3 时，Aut(K[x₁,…,xₙ]) 的所有 Ind-概形自同构均为内自同构，而 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) 的所有此类自同构均为半内自同构；同时通过自然阿贝尔化证明了自同构群提升问题有负解。

ABSTRACT

We study the Zariski topology of the ind-groups of polynomial and free associative algebras $\Aut(K[x_1,...,x_n])$ (which is equivalent to the automorphism group of the affine space $\Aut(K^n))$) and $\Aut(K< x_1,..., x_n>$ via $\Ind$-schemes, toric varieties, approximations and singularities. We obtain some nice properties of $\Aut(\Aut(A))$, where $A$ is polynomial or free associative algebra over a field $K$. We prove that all $\Ind$-scheme automorphisms of $\Aut(K[x_1,...,x_n])$ are inner for $n\ge 3$, and all $\Ind$-scheme automorphisms of $\Aut(K< x_1,..., x_n>)$ are semi-inner. We also establish that any effective action of torus $T^n$ on $\Aut(K< x_1,..., x_n>)$ is linearizable provided $K$ is infinity. That is, it is conjugated to a standard one. As an application, we prove that $\Aut(K[x_1,...,x_n])$ cannot be embedded into $\Aut(K< x_1,...,x_n>)$ induced by the natural abelianization. In other words, the {\it Automorphism Group Lifting Problem} has a negative solution. We explore the close connection between the above results and the Jacobian conjecture, and Kontsevich-Belov conjecture, and formulate the Jacobian conjecture for fields of any characteristic.

研究动机与目标

• 通过 Ind-概形与 торические 曲面分析多项式代数与自由结合代数自同构群的拓扑与代数结构。
• 研究自同构群提升问题：通过自然阿贝尔化，Aut(K[x₁,…,xₙ]) 是否可嵌入至 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)？
• 建立对可 tame 自同构群的 Ind-概形自同构的结构，特别是当 n ≥ 3 时。
• 探索雅可比猜想、Kanel-Belov–Kontsevich 猜想与自同构群逼近性质之间的联系。
• 确定环面作用的线性化性质及在 tame 情形下自同构的本质。

提出的方法

• 使用 Ind-概形与 Ind-群框架研究多项式代数与自由结合代数的自同构群。
• 应用逼近技巧与奇点分析以理解自同构群的结构。
• 利用 Bodnarchuk、Kraft 与 Rips 的结果，分析保持原点的 tame 群自同构。
• 利用 торические 曲面与群作用证明当 K 为无限域时，Tⁿ 作用在 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) 上的线性化。
• 通过直接计算与共轭论证分析自同构下单项式的像。
• 利用 tame 自同构与生成元的结构，证明自同构为内自同构或半内自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n ≥ 3 时，Aut(K[x₁,…,xₙ]) 的所有 Ind-概形自同构是否为内自同构？
• RQ2 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) 的所有 Ind-概形自同构是否为半内自同构？
• RQ3 自同构群提升问题是否可通过自然阿贝尔化求解？
• RQ4 当 K 为无限域时，Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) 上的任意有效 Tⁿ 作用是否可线性化？
• RQ5 Aut(K⟨x,y,z⟩) 的每个群论自同构是否均为半内自同构？

主要发现

• 当 n ≥ 3 时，Aut(K[x₁,…,xₙ]) 的所有 Ind-概形自同构均为内自同构。
• Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) 的所有 Ind-概形自同构均为半内自同构。
• 当 K 为无限域时，Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) 上的任意有效 Tⁿ 作用均可线性化。
• 自同构群提升问题有负解：通过自然阿贝尔化，Aut(K[x₁,…,xₙ]) 无法嵌入至 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)。
• tame 自同构群 TAut(K⟨x,y,z⟩) 的自同构群由共轭与镜像反自同构生成。
• 结果支持任意特征下的雅可比猜想，且与 Kanel-Belov–Kontsevich 猜想一致。