[论文解读] On the zeta function on the line Re(s) = 1

Johan Andersson|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文建立了黎曼ζ函数及其相关L-函数在直线 $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上的 $L^1$ 与 $L^\infty$-范数的精确下界与上界，证明了当 $\delta \to 0^+$ 时，有 $\int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|\,dt \asymp \delta^2$。本文证明了ζ函数在此直线上不具有 universality（通用性），并利用 Sato-Tate 定理与潜在自守性定理，将结果推广至 Hecke L-函数，涵盖全模形式与 Hilbert 模形式。

ABSTRACT

We show the estimates \inf_T \int_T^{T+δ} |ζ(1+it)|^{-1} dt =e^{-γ}/4 δ^2+ O(δ^4) and \inf_T \int_T^{T+δ} |ζ(1+it)| dt =e^{-γ} π^2/24 δ^2+ O(δ^4) as well as corresponding results for sup-norm, L^p-norm and other zeta-functions such as the Dirichlet L-functions and certain Rankin-Selberg L-functions. This improves on previous work of Balasubramanian and Ramachandra for small values of δand we remark that it implies that the zeta-function is not universal on the line Re(s)=1. We also use recent results of Holowinsky (for Maass wave forms) and Taylor et al. (Sato-Tate for holomorphic cusp forms) to prove lower bounds for the corresponding integral with the Riemann zeta-function replaced with Hecke L-functions and with δ^2 replaced by δ^{11/12+ε} and δ^{8/(3 π)+ε} respectively.

研究动机与目标

• 建立 $|\zeta(1+it)|$ 与 $|\zeta(1+it)|^{-1}$ 在长度为 $\delta$ 的区间上短积分的精确渐近估计。
• 解决黎曼ζ函数在直线 $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上的 universality 问题，证明其即使在 $L^1$-范数下也不成立。
• 利用近期的 Sato-Tate 与自守性结果，将分析扩展至狄利克雷L-函数、Rankin-Selberg L-函数以及模形式的 Hecke L-函数。
• 通过谱理论与傅里叶系数的分布性质，推导出 $L^p$-范数在 $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上的改进下界。

提出的方法

• 使用截断法（mollifier method）推导 $\int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|\,dt$ 与 $\int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|^{-1}\,dt$ 的下界。
• 应用 Jensen 不等式与具有乘法系数的狄利克雷级数的对数 $L^1$-范数估计。
• 采用 Balasubramanian-Ramachandra 方法，建立 $|\zeta(1+it)|$ 的短平均值的无条件下的下界。
• 利用全模形式与 Hilbert 模形式的 Sato-Tate 分布的最新结果，推导 $L^p$-范数估计。
• 利用函数方程与 Stirling 公式分析 $\zeta(1+it)$ 的幅值与辐角，揭示其刚性，从而排除 universality 的可能性。
• 应用具有 Euler 乘积的广义狄利克雷级数理论，将结果推广至算术起源的 $L$-函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\delta \to 0^+$ 时，$\inf_T \int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|\,dt$ 的精确渐近行为是什么？
• RQ2 黎曼ζ函数在 $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上是否具有 $L^1$-范数或 $L^2$-范数的 universality？
• RQ3 能否利用 Sato-Tate 等分布性结果，建立 $L^p$-范数在 $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上的精确下界？
• RQ4 对于模形式的 Hecke $L$-函数，最优指数 $\alpha$ 是多少，使得 $\int_T^{T+\delta} |L(1+it)|\,dt \gg \delta^\alpha$ 成立？
• RQ5 在更强的猜想（如 Akiyama-Tanigawa 猜想）下，$L^p$-范数估计中的 $\epsilon$-损失是否可被消除？

主要发现

• 当 $\delta \to 0^+$ 时，$|\zeta(1+it)|$ 在长度为 $\delta$ 的区间上 $L^1$-范数的下确界满足：$$\inf_T \int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|\,dt = \frac{\pi^2 e^{-\gamma}}{24} \delta^2 + O(\delta^4)$$
• 当 $\delta \to 0^+$ 时，$|\zeta(1+it)|^{-1}$ 在长度为 $\delta$ 的区间上 $L^1$-范数的下确界满足：$$\inf_T \int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|^{-1}\,dt = \frac{e^{-\gamma}}{4} \delta^2 + O(\delta^4)$$
• 黎曼ζ函数在 $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上不具有 universality，即使在 $L^1$-范数下也不成立，原因在于 Hardy $Z$-函数的刚性与函数方程的约束。
• 对于权 $\geq 2$ 的全模形式的 Hecke $L$-函数，其 $L^1$-范数满足：$$\int_T^{T+\delta} |H(1+it)|\,dt \gg \delta^{1+8/(3\pi)+\epsilon}$$，其中 $8/(3\pi) \approx 0.8488$。
• 在 Sato-Tate 猜想下，对于全模形式，$L^p$-范数满足：$$\inf_T \int_T^{T+\delta} |H(1+it)|^p\,dt \asymp \delta^{1 + 8/(3\pi) \cdot p}$$
• 本文猜想，在 Akiyama-Tanigawa 猜想下，$\epsilon$-损失可被消除，从而得到：$$\sum_{p\leq N} \frac{|a_p|}{p} = \frac{8}{3\pi} \log\log N + B + O((\log\log N)^{-2})$$