[论文解读] On theta series attached to maximal lattices and their adjoints

Siegfried Boecherer, Gabriele Nebe|ArXiv.org|Sep 7, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文引入并研究了双极性极值格——即在平方自由水平 $N$ 下，其伴随theta级数在模形式空间 $M_k(N)^*$ 中达到极值界限的最大偶格。通过利用该空间的Weierstrass性质及theta级数在Atkin-Lehner对合下的变换规律，作者定义了极性，并在水平 $N=2,3,5,7,11,6,10$ 上构造了显式例子，证明此类格在各层中构成球面5设计，且为强完美格，精确计算了其最小范数与类数。

ABSTRACT

The space spanned by theta series of adjoints of maximal even lattices of exact level $N$ and determinant $N^2$ has the Weierstrass property and hence allows to define extremality for arbitrary squarefree level $N$. We find examples of such dual extremal lattices.

研究动机与目标

• 定义并表征双极性极值格，即在平方自由水平 $N$ 下，其伴随theta级数在 $M_k(N)^*$ 中达到极值界限的最大偶格。
• 确立空间 $M_k(N)^*$ 具有Weierstrass性质，从而为任意平方自由 $N$ 定义极性。
• 在水平 $N=2,3,5,7,11,6,10$ 上构造双极性极值格的显式例子，并计算其类数与最小范数。
• 证明双极性极值格在其各层中构成球面5设计，从而蕴含强完美性与球堆积中的局部极大性。

提出的方法

• 利用模形式空间 $M_k(N)^*$ 的Weierstrass性质，该性质由最大偶格在水平 $N$ 下的伴随格的theta级数定义。
• 应用theta级数在Atkin-Lehner对合下的变换规律，这些规律源自矩阵 $\omega_p^N$ 的作用，以刻画最大格。
• 使用斜算符 $|_k$ 以及Hecke算子 $T(p)$、$U(p)$ 和 $V(p)$ 分析 $M_k(N)^*$ 中的模形式。
• 通过对偶格 $L^\#$ 与缩放格 $\sqrt{N}L^\#$ 定义theta级数 $\theta(\sqrt{N}L^\#)$，该级数属于 $M_k(N)^*$。
• 应用局部Witt不变量 $s_p(V)$ 与 $p$-进Jordan分解，分析水平-$p$ 最大性与对偶性。
• 利用文献 [2]、[10] 与 [12] 的分类结果，统计双极性极值格的等距类数并验证最小范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可为任意平方自由水平 $N$ 下 $M_k(N)^*$ 中的模形式定义极性？这一定义是否构成极值格的有意义推广？
• RQ2 双极性极值格——即在水平 $N$ 下，其伴随theta级数为极值的偶最大格——是否表现出如其各层中构成球面5设计等强几何性质？
• RQ3 在哪些维数与水平 $N$ 下存在双极性极值格？每种情况下的等距类数有多少？
• RQ4 双极性极值格的 $\sqrt{N}L^\#$ 的精确最小范数是多少？是否超过一般界限 $2\dim(M_k(N)^*)$？
• RQ5 在水平 $N=11$ 下是否存在最小范数严格大于极值界限的双极性极值格？这对一般理论有何含义？

主要发现

• 在水平 $N=2$ 时，双极性极值格在维数 $2k$ 下满足 $\min(L^\#) = \dim(M_k(2)^*)$，且其各层构成球面5设计，从而蕴含强完美性。
• 在水平 $N=2$、维数 $m=28$ 时，存在31个双极性极值格的等距类，满足 $\min(\sqrt{2}L^\#) = 6$，且所有层均构成球面5设计。
• 在水平 $N=3$、维数 $m=28$ 时，双极性极值格的数量至少为 $9 \cdot 41610$，满足 $\min(\sqrt{3}L^\#) \geq 8/3 > 2$，且各层构成球面5设计。
• 在水平 $N=11$、维数 $m=20$ 时，极值theta级数的最小范数为20，超过 $2\dim(M_{10}(11)^*) = 18$，表明该界限可严格成立。
• 在水平 $N=5$、维数 $m=20$ 时，存在329个双极性极值格的等距类，满足 $\min(\sqrt{5}L^\#) = 8$，且theta级数为极值。
• 在水平 $N=10$、维数 $m=16$ 时，存在228个双极性极值格的等距类，满足 $\min(\sqrt{10}L^\#) = 12$，且theta级数为极值。